一文学懂递归和动态规划 _递归

前言递归，是一个非常重要的概念，也是面试中非常喜欢考的。因为它不但能考察一个程序员的算法功底，还能很好的考察对时间空间复杂度的理解和分析。
本文只讲一题，也是几乎所有算法书讲递归的第一题，但力争讲出花来，在这里分享四点不一样的角度，让你有不同的收获。

时空复杂度的详细分析
识别并简化递归过程中的重复运算
披上羊皮的狼
适当炫技助我拿到第一份工作

算法思路大家都知道，一个方法自己调用自己就是递归，没错，但这只是理解递归的最表层的理解。
那么递归的实质是什么？
答：<span style="color:blue">递归的实质是能够把一个大问题分解成比它小点的问题，然后我们拿到了小问题的解，就可以用小问题的解去构造大问题的解。</span>
那小问题的解是如何得到的？
答：用再小一号的问题的解构造出来的，小到不能再小的时候就是到了零号问题的时候，也就是 base case 了。

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那么总结一下递归的三个步骤：Base case：就是递归的零号问题，也是递归的终点，走到最小的那个问题，能够直接给出结果，不必再往下走了，否则，就会成死循环；
拆解：每一层的问题都要比上一层的小，不断缩小问题的 size，才能从大到小到 base case；
组合：得到了小问题的解，还要知道如何才能构造出大问题的解。
所以每道递归题，我们按照这三个步骤来分析，把这三个问题搞清楚，代码就很容易写了。
斐波那契数列这题虽是老生常谈了，但相信我这里分享的一定会让你有其他收获。
题目描述斐波那契数列是一位意大利的数学家，他闲着没事去研究兔子繁殖的过程，研究着就发现，可以写成这么一个序列：1，1，2，3，5，8，13，21… 也就是每个数等于它前两个数之和。那么给你第 n 个数，问 F(n) 是多少。
解析用数学公式表示很简单：
$$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$
代码也很简单，用我们刚总结的三步：

base case: f(0) = 0, f(1) = 1.
分解：f(n-1), f(n-2)
组合：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

那么写出来就是：
class Solution {public int fib(int N) {if (N == 0) {return 0;} else if (N == 1) {return 1;}return fib(N-1) + fib(N-2);}}但是这种解法 Leetcode 给出的速度经验只比 15% 的答案快，因为，它的时间复杂度实在是太高了！

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过程分析这就是我想分享的第一点，如何去分析递归的过程。
首先我们把这颗 Recursion Tree 画出来，比如我们把 F(5) 的递归树画出来：

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那实际的执行路线是怎样的？
首先是沿着最左边这条线一路到底：F(5) → F(4) → F(3) → F(2) → F(1)，好了终于有个 base case 可以返回 F(1) = 1 了，然后返回到 F(2) 这一层，再往下走，就是 F(0)，又触底反弹，回到 F(2)，得到 F(2) = 1+0 =1 的结果，把这个结果返回给 F(3)，然后再到 F(1)，拿到结果后再返回 F(3) 得到 F(3) = 左 + 右 = 2，再把这个结果返上去...
这种方式本质上是由我们计算机的冯诺伊曼体系造就的，目前一个 CPU 一个核在某一时间只能执行一条指令，所以不能 F(3) 和 F(4) 一起进行了，一定是先执行了 F(4) （本代码把 fib(N-1) 放在前面），再去执行 F(3).
我们在 IDE 里 debug 就可以看到栈里面的情况：这里确实是先走的最左边这条线路，一共有 5 层，然后再一层层往上返回。

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没看懂的小伙伴可以看视频讲解哦～
完整版视频还请大家移步 B 站，搜索「田小齐」「递归」，即可看到我的视频讲解。
<video src=https://www.isolves.com/it/cxkf/sf/2020-09-21/2.%20%E5%85%AC%E4%BC%97%E5%8F%B7/5%20Recursion%20-%20Fib/%E5%8E%8B%E6%A0%88%E8%BF%87%E7%A8%8B%E8%AF%A6%E8%A7%A3.MP4">
时间复杂度分析如何评价一个算法的好坏？
很多问题都有多种解法，毕竟条条大路通罗马。但如何评价每种方法的优劣，我们一般是用大 O 表达式来衡量时间和空间复杂度。
时间复杂度：随着自变量的增长，所需时间的增长情况。