区分粒子等同和不等同这两种情形的必要性，还涉及统计力学中的吉布斯佯谬，即吉布斯混和熵问题 。吉布斯早就注意到，如果两个等同的流体块位于相邻的两个小室中，隔板移开时熵应该不变，而如果流体是不同的就会有熵变 。体积为V的无相互作用体系中，粒子处于任一处的概率为1/V，位形空间的熵项为NlogV 。如果体系扩为二倍，体积为2V的空间被隔板在正中间分隔为相同的两半，则隔板移除前后的熵分别为2NlogV和2Nlog(2V)，二者不等，也不满足熵的广延性 。量子不可分辨性引入因子1/N!，单粒子的有效体积也由V改为V/N，位形空间的熵改为Nlog(V/N) 。于是，隔板移除前后的熵均为2Nlog(V/N)，不出现混和熵 。吉布斯佯谬由引入量子等同粒子的不可分辨性而得以澄清 。
06 我们的世界是复的戴森和杨振宁关于薛定谔发现波动力学方程的历史回顾，对于理解量子力学的实质很有助益，可惜一般量子力学教科书中不记述 。1925年11月，薛定谔在阅读爱因斯坦关于玻色—爱因斯坦统计的论文时，得知德布罗意的博士论文，深有感触 。在一次研讨会上，德拜指出，既然粒子具有波动性，应该有一种能够正确描述这种量子性质的波动方程 。他的意见给予薛定谔极大的启发与鼓舞，他开始寻找这种波动方程 。
“哈密顿类比”又称“光学—力学类比”，是哈密顿在研究经典力学时给出的理论 。哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理 。哈密顿发现，使用哈密顿—雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；遵守费马原理的光线“粒子”等同于遵守最小作用量原理的粒子 。很多光的性质，例如衍射、干涉等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须用波动光学的理论分析 。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长远短于空间参考线度的极限情形 。哈密顿—雅可比方程似乎也有可能描述波动光学里遵守惠更斯原理的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前 。
文章插图
?它是非线性版的薛定谔方程 。这想法很正确，经过一番努力，他成功地构思出薛定谔方程 。检试方程成败的最简单问题应该是氢原子，必须能得出玻尔模型的理论结果 。他写下相对论波动方程，但不成功，然而很快在1925年圣诞节前后发现，非相对论的方程给出正确的巴尔末光谱系 。1926年，他正式发表了非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结果 。这篇论文迅速在量子学术界引起震撼 。普朗克表示他“已阅读完毕整篇论文，就像被一个谜语困惑多年渴慕知道答案的孩童，现在终于听到了解答” 。爱因斯坦称赞薛定谔作出决定性的贡献，称其著作的灵感如同泉水般源自一位真正的天才 。
关于薛定谔，戴森评论道[4]，大自然开的最大玩笑是-1的平方根 。薛定谔1926年发明波动力学时将之加在他的波动方程中 。薛定谔从统一力学和光学的想法出发 。先此百年，哈密顿用同样的数学描述光线和经典粒子轨道，统一了经典力学和射线光学 。薛定谔的想法是将之推广到波动光学与波动力学的统一 。波动光学已经有了，但波动力学还没有 。薛定谔必须发明波动力学以完成统一 。以波动光学为模型出发，他写下力学粒子的微分方程，但方程没有意义 。这个方程看起来像连续介质热传导方程 。热传导与粒子力学没有明显联系 。薛定谔的想法似乎山穷水尽 。然而，意外发生了 。薛定谔将-1的平方根加在方程中，方程一下子就有意义了 。它一下子变成波动方程而不是热传导方程 。并且，薛定谔高兴地看到方程有对应于玻尔原子模型的量子化轨道的解 。薛定谔方程原来可以正确描述我们所知道的原子所有行为！它是所有化学和大部分物理的基础 。-1的平方根意味着自然界依复数而非依实数运行 。这个发现让薛定谔也让所有人大吃一惊 。在整个19世纪，数学家们大大发展了复变函数论，但只认为复数不过是作为实际生活中来的一种有用且精致的抽象而被人类发明的作品 。他们没有料到自然界早已走在前头 。
黄克孙2000年的《杨振宁访谈录》[5]中关于薛定谔有一段生动的描述：薛定谔不喜欢i 。经典图像里，波就是波，与i不搭界 。用i只是数学花招 。薛定谔写了
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