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DH算法原理

DH算法

DH 是 Diffie-Hellman的首字母缩写，是Whitefield与Martin Hellman在1976年提出了一个的密钥交换协议 。我个人倾向于称DH算法为 密钥协商协议而RSA算法是密钥交换算法 。
本篇分为几个部分，第一个部分介绍一下密钥交换的场景；第二部分介绍一下DH算法的的步骤，以及由该算法引出的一些问题；第三部分开始讲数学原理 。数学原理可能涉及到数论、抽象代数，本篇尽量在每个公式后面证明该公式的正确性 。
简单场景&简单的密钥协商
先从一个应用场景说起：
Alice 和Bob想要在一个不安全的信道共享一个密钥，该密钥可被用来进行后续的其他的操作，并且仅被Alice和Bob所知，第三方无法得知 。
一个简单的方法就是，现在全世界都是知道一个值 P=100 。Alice生成随机值5，然后乘上P，接着发送Pa = 500给Bob；通样Bob生成随机值6，然后乘上P，接着发送Pb = 600给Alice 。
这样，Alice 有 100，5 ，600，Bob有100，6,500 。
Alice计算: 随机值5（自己私钥） * 600（对端的公钥） = 3000 等式1
Bob计算 : 随机值6（自己私钥） * 500（对端的公钥） = 3000 等式2
这样 Alice就和Bob共享了一个值3000，还有谁知道3000这个值呢？我们知道Alice明文的将500发送到不安全信道，Bob明文的将600发送到不安全信道，这也就意味着第三方仅仅知道500 和 600，想要计算获得共享密钥，第三方要么获取到Alice的随机值然后拿它乘上600，要么获取到Bob的随机值然后拿它乘上500，这样才能获取到Alice和Bob的共享密钥 。
问题来了，如何获取到Alice的随机值呢？
第三方知道，Alice发送的500是由P乘上Alice的随机值得到的，所以问题变成了求方程 x*100 = 500的解 。一眼就能看出来，Alice的随机值是5 。
上述方法很容易被破解的原因是P太简单了 。P值再复杂点怎么样？
例如P = 0x123456781234567812345678
Pa = 0xAD77D73E0BFC0E3E0BFC0E3D5E84370
Pb = 0x4EF81E05A6A0F385A6A0F38557A8D58
显然，你不能一眼就求出方程 x*P = Pa 的解
其实 Alice的随机数为 0x98765432, Bob的随机数为0x45681265 。
但是这一切对于计算机来说还是太简单了 。例如OpenSSL、Mbedtls等众多的开源库都提供了大数运算的API，计算Pa/P可能就几毫秒甚至几微秒的事情 。
所以怎么要让中间人难以从Pa或者Pb中分解得到Alice或Bob的随机数，而Alice和Bob又能轻松的通过P和随机数计算得到Pa和Pb，就成了设计这个算法的关键 。从上面的例子可以看出，简单的乘法运算是不行的 。
一般来说上述所说的全世界都知道的值P称之为公钥，为Alice和Bob的随机数称之为私钥 。
DH算法的一个例子
这里举例一个DH算法的例子 。
例1：
设有这么一个二元组 (q, p) = (3, 7)
我们定义Alice和Bob这么一个运算：
（1）Alice 选择一个范围在[1, p-1]的随机数，为da= 5
（2）Alice 计算Pa = q^da mod p = 3^5 mod 7 = 5
（3）Bob选择一个范围在[1, p-1]的随机数，为db = 6
（4）Bob计算Pb = q^db mod p = 3^6 mod 7 = 1
（5）Alice和Bob交换Pa和Pb
（6）Alice计算共享密钥S = Pb ^da mod p = 1^5 mod 7 = 1
（7）Bob计算共享密钥S = Pa ^db mod p = 5^6 m 7 = 1
至此，Alice和Bob能够共享一个密钥为1 。中间人由于只得到了Pa=5和Pb=1，如果也想要得到S，要么获取da然后执行步骤6中的等式计算得到结果、要么获取db然后执行步骤7中的等式得到结果 。而要知道da或者db，需要计算

DH算法原理

文章插图
 
其实该算法的原理和上一部分中简单乘法及其类似，只是获取da或者db不是简单的方程式了，而是涉及到对数运算 。对数运算被认为是“难”的，这个难建立在目前为止没有找到一个快速计算对数的算法，数学上没有证明这个算法是否存在 。
看到这肯定有一个问题，随便一个二元组(q, p)都可以参与运算吗？显然不行 。
我们来看看如果随便一个(q, p)参与运算，会出现什么情况 。
例2：
假设(q, p) = (7,15)，我们让Alice和Bob再来协商一遍
（1）Alice 选择一个范围在[1, p-1]的随机数，为da= 3
（2）Alice 计算Pa = q^da mod p =7^3 mod 15 = 13
（3）Bob选择一个范围在[1, p-1]的随机数，为db = 2
（4）Bob计算Pb = q^db mod p = 7^2 mod 15 = 4
（5）Alice和Bob交换Pa和Pb
（6）Alice计算共享密钥S = Pb ^da mod p = 4^3 mod 15 = 4
（7）Bob计算共享密钥S = Pa ^db mod p = 13^2 mod 15 = 4
看起来还是协商成功了，那问题在哪？


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