工程师在问“带宽是多少”时,到底在问什么?

“带宽”这个术语在许多情况下已被滥用 。我记得在一次会议上,这个词被用来指:特定信号的频率组成、特定电路的频率响应、局域网的速度,甚至组织的人数 。“我们现在没有足够的带宽来处理这些工作 。”也许没人注意到这些,但我发现它很有意思 。
信号带宽
工程师会问“这个信号需要多少带宽?”通常,这一问题涉及确保信号可以通过一个组件或系统传输、并在信号质量没有降低的情况下传输到另一端 。
图1显示了信号通过带宽有限的系统的情况 。如图所示,系统有足够的带宽来传递信号且保持不变,这通常是期望的结果 。当然,如果信号的频率组成超过系统的带宽,则输出信号质量可能显著降低 。
 

工程师在问“带宽是多少”时,到底在问什么?

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图1:尽管系统带宽有限(低通滤波器),但足够传输信号而不失真 。
 
如果我们谈论的是基本的正弦波形,“带宽是多少?”这一问题的答案可能显而易见:1GHz正弦波需要至少1GHz的系统带宽才能有效传输 。如果我们使用-3dB点来描述系统带宽,响应将在该频率下衰减 。例如,如果我使用1GHz示波器查看1GHz正弦波,所显示的波形幅度可能是实际值的70%(-3dB),具体取决于示波器带宽的裕量 。
数字信号甚至更具挑战性,因为它们包含与波形的快速上升边缘相关的高频成分 。Eric Bogatin在《Rule of Thumb #1:Bandwidth of a signal from its rise time》中解释了信号的上升时间与其带宽之间的关系 。简单地说:
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其中tr是上升时间(10%,90%),f3dB是3dB带宽 。
这个等式对于具有单极低通响应的系统(想想“低通RC电路”)来说是精确的,对于许多性能良好的系统来说也是相当接近的 。我最近发现了一篇Tektronix的老文章,讨论了垂直放大器响应和上升时间 。文章展示了这两个阶跃响应图,一个是理想化的“高斯响应”,另一个是典型的低通RC电路(见图2) 。
 
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图2:高斯阶跃响应和低通RC电路阶跃响应 。
 
我发现相关的评论很有意思,因为它们描述了上升时间和过冲(overshoot)之间的设计权衡 。(因子K对应于上式中的0.35):
真正的高斯响应解析为tr•bw=0.32 。由于几个因素的影响,示波器放大器不能满足真正的高斯响应要求 。因此,“高斯”电路基本上是接近高斯的 。通过多年研究得出的经验乘积定义了这些“高斯”电路 。对于更高的高斯响应,tr•bw=0.35~0.45 。较高的乘积表明上升时间缩短 。但是,上升时间减少也伴随有过冲发生 。0.45的乘积会导致5%的过冲,当tr•bw=0.35时,阶跃响应中的过冲很小(如果有的话) 。Tektronix通常将乘积设置在K=0.35,牺牲上升时间以实现最小过冲 。
K是品质因数,有时也称为上升时间带宽积(RTBP) 。近年来,随着示波器制造商将可用带宽的上限推向新高,有时可以实现仪器响应的更陡滚降,而RTBP也发生了相应的变化 。例如,Keysight UXR 110GHz示波器使用0.44的因数来指定10%/90%的上升时间 。
回到正弦波
看完这一数字示例后,我一直在思考简单的正弦波 。上升时间最适用于阶跃函数或方波,但它也可以应用于正弦波(虽然我承认它有点牵强) 。考虑一个幅度为1、峰峰值幅度为2的正弦波(图3) 。
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图3:在此示例中,正弦波的上升时间是峰峰值幅度的10%到90%之间的时间 。
 
我们来计算波形从负峰值的90%变为正峰值的90%所需的“上升时间” 。如图所示,该上升时间为t2–t1 。由于波形的对称性,可以看到:
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【工程师在问“带宽是多少”时,到底在问什么?】 
这看起来不是那么有趣 。相同的值0.35显示出正弦波频率和上升时间之间的关系 。仔细观察会发现它略有不同:单极点情况下是0.356而不是0.350 。0.35这一数字似乎有些特别,但还没达到普适常数(例如光速)的水平 。


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