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读芯术算法中的微积分：5大函数求导公式让你在面试中脱颖而出


全文共3893字 ， 预计学习时长10分钟
读芯术算法中的微积分：5大函数求导公式让你在面试中脱颖而出
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图源：unsplash就业市场上 ， 机器学习工程师总是受到质疑 ， 人们不相信他们数学功底深厚 。 事实上 ， 所有机器学习算法的本质都是数学问题 ， 无论是支持向量机、主成分分析还是神经网络最终都归结为对偶优化、谱分解筛选和连续非线性函数组合等数学问题 。 只有彻底理解数学 ， 才能正真掌握这些机器学习算法 。Python中的各种数据库能帮助人们利用高级算法来完成一些简单步骤 。 例如包含了K近邻算法、K均值、决策树等算法的机器学习算法库Scikit-learn ， 或者Keras ， 都可以帮助人们构建神经网络架构 ， 而不必了解卷积神经网络CNNs或是循环神经网络RNNs背后的细节 。然而 ， 想要成为一名优秀的机器学习工程师需要的远不止这些 。 在面试时 ， 面试官通常会问及如何从零开始实现K近邻算法、决策树 ， 又或者如何导出线性回归、softmax反向传播方程的矩阵闭式解等问题 。本文将回顾一些微积分的基本概念助你准备面试 ， 如一元和多元函数的导数、梯度、雅可比矩阵和黑塞矩阵 。 同时 ， 本文还能为你深入研究机器学习、尤其是神经网络背后的数学运算打下良好的基础 。 这些概念将通过5个导数公式来展示 ， 绝对是面试必备干货 。
读芯术算法中的微积分：5大函数求导公式让你在面试中脱颖而出
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导数1：复合指数函数
指数函数非常基础常见 ， 而且非常有用 。 它是一个标准正函数 。 在实数?中e? > 0 ， 同时指数函数还有一个重要的性质 ， 即e? = 1 。另外 ， 指数函数与对数函数互为反函数 。 指数函数也是最容易求导的函数之一 ， 因为指数函数的导数就是其本身 ， 即(e?)’ = e? 。 当指数与另一个函数组合形成一个复合函数时 ， 复合函数的导数就变得更为复杂了 。 在这种情况下 ， 应遵循链式法则来求导 ， f(g(x))的导数等于f’(g(x))?g’(x) ， 即：
运用链式法则可以计算出f(x)= e?2的导数 。 先求g(x)=x2的导数：g(x)’=2x 。 而指数函数的导数为其本身：(e?)’=e? 。 将这两个导数相乘 ， 就可以得到复合函数f(x)= e?2的导数：
这是个非常简单的例子 ， 乍一看可能无关紧要 ， 但它经常在面试开始前被面试官用来试探面试者的能力 。 如果你已经很久没有温习过导数了 ， 那么很难确保自己能够迅速应对这些简单问题 。 虽然它不一定会让你得到这份工作 ， 但如果你连这么一个基本问题都回答不上 ， 那你肯定会失去这份工作 。导数2：底数为变量的复变指数
复变指数函数是一个经典面试问题 ， 尤其是在计量金融领域 ， 它比科技公司招聘机器学习职位更为看重数学技能 。 复变指数函数迫使面试者走出舒适区 。 但实际上 ， 这个问题最难的部分是如何找准正确的方向 。当函数逼近一个指数函数时 ， 首先最重要的是要意识到指数函数与对数函数互为反函数 ， 其次 ， 每个指数函数都可以转化为自然指数函数的形式：
在对复变指数函数f(x) = x?求导前 ， 要先用一个简单的指数函数f(x) = 2?来证明复变函数的一种性质 。 先用上述方程将2? 转化为exp(xln(2)) ， 再用链式法则求导 。
读芯术算法中的微积分：5大函数求导公式让你在面试中脱颖而出
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现在回到原来的函数f(x)=x? ， 只要把它转化为f(x)=exp(x ln x) ， 求导就变得相对简单 ， 可能唯一困难的部分是链式法则求导这一步 。
注意这里是用乘积法则(uv)’=u’v+uv’来求指数xln(x)的导数 。通常情况下 ， 面试官提问这个函数时不会告诉你函数定义域 。 如果面试官没有给定函数定义域 ， 他可能是想测试一下你的数学敏锐度 。 这便是这个问题具有欺骗性的地方 。 没有限定定义域 ， x?既可以为正也可以为负 。 当x为负时 ， 如(-0.9)^(-0.9) ， 结果为复数-1.05–0.34i 。一种解决方法是将该函数的定义域限定为?? ∪ ??， 但对于负数来说 ， 函数依然不可微 。 因此 ， 为了正确推导出复变指数函数x?的导数 ， 只需要把该函数的定义域严格限定为正数即可 。 排除0是因为此时导数也为0 ， 左右导数需相等 ， 但在这种情况下 ， 此条件是不成立的 。 因为左极限是没有定义的 ， 函数在0处不可微 ， 因此函数的定义域只能限定为正数 。


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