一路凯伴|初二上学期，勾股定理相关的直角三角形多解题目，轻易漏解
在勾股定理中 ， 有些问题是多解 ， 涉及这类问题 ， 许多同学都轻易漏解 。 常见的分类尺度有：边是直角边仍是斜边 ， 三角形是锐角三角形仍是钝角三角形 ， 特别是没有图形的问题 ， 在解题时一定要多画图多思索 ， 可能就是多解题 。
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1.根据边分情况讨论
例题1：直角三角形的两边长为3和4 ， 则该三角形的第三边为________ .
分析：分两种情况考虑：当4为斜边时 ， 利用勾股定理求出直角边上即为第三边；当4为直角边时 ， 求出斜边即为第三边．
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在本题中 ， 4可能是最长边（是斜边） ， 也可能不是最长边（是直角边） ， 因此需要分两种情况进行讨论 。
变式1：直角三角形的两边长为3、4 ， 则第三边的平方为________ .
分析：本题已知直角三角形的两边长 ， 但未明确这两条边是直角边仍是斜边 ， 所以求第三边的长必需分类讨论 ， 即4是斜边或直角边的两种情况 ， 然后利用勾股定理求解．
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与例题1一样的题目 ， 看清楚问题再写 。
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2.根据三角形的外形分情况讨论
例题2：已知△ABC中 ， AB=17cm ， AC=10cm ， BC边上的高AD=8cm ， 则边BC的长为________ .
分析：利用勾股定理列式求出BD、CD ， 再分点D在边BC上和在CB的延长线上两种情况求出BC的长度 ， 即三角形可能是锐角三角形 ， 也可能是钝角三角形．
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变式：在△ABC中 ， AB=25 ， AC=30 ， BC边上的高AD为24 ， 第三边BC的长为________ .
分析：利用勾股定理可求出BD、CD的长度 ， 分点D在线段BC上及点D在线段CB的延长线上两种情况求出BC的长 ， 此题得解．
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按照三角形的分类进行解题时 ， 三角形一般分为锐角三角形或钝角三角形 。
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3.根据角分情况讨论
例题3：长方形纸片ABCD中 ， 已知AD=8 ， AB=6 ， E是边BC上的点 ， 以AE为折痕折叠纸片 ， 使点B落在点F处 ， 连接FC ， 当△EFC为直角三角形时 ， 求BE的长度.
分析：分两种情况：①当∠EFC=90°时 ， 先判定出点F在对角线AC上 ， 利用勾股定理列式求出AC ， 设BE=x ， 表示出CE ， 根据翻折变换的性质可得AF=AB ， EF=BE ， 然后在Rt△CEF中 ， 利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时 ， 判定出四边形ABEF是正方形 ， 根据正方形的四条边都相等可得BE=AB．
解：①当∠EFC=90°时 ， 如图1 ，
∵∠AFE=∠B=90° ， ∠EFC=90° ，
∴点A、F、C共线 ，
∵矩形ABCD的边AD=8 ，
∴BC=AD=8 ，
在Rt△ABC中 ， AC=10 ， 设BE=x ， 则CE=BC-BE=8-x ， 由翻折的性质得 ， AF=AB=6 ， EF=BE=x ，
∴CF=AC-AF=10-6=4 ，
在Rt△CEF中 ， EF^2+CF^2=CE^2 ， 即x^2+4^2=（8-x）^2 ，
解得x=3 ， 即BE=3；
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