初中数学|初中数学竞赛题：求正方形的面积，难住众多学霸，关键是做辅助线学霸

文章图片

文章图片

大家好！今天和大家分享一道初中数学竞赛题：如图，求正方形的面积。这道题的难度还是比较大的，据说难住了众多学霸。这是一道几何题，几何题的难点或者说关键点就是辅助线的做法，正确作出辅助线后，其实难度也就不大了。
这道题的辅助线实际上考查的是旋转法做辅助线。旋转法做辅助线一般需要出现边长相等的情况，最常见的就是出现在等边三角形和正方形中。

本题中，可以作∠BAE=∠BCO ， ∠ABE=∠OBC ，容易得到三角形ABE全等于三角形CBO ，就相当于将三角形CBO旋转到了三角形ABE的位置。
作出三角形ABO后，再连接OE ，并过点B作AO的垂线，交AO的延长线于点F ，如下图。
作出辅助线后，易得BE=OB=2 。

因为∠ABO+∠OBC=90° ，所以∠OBE=∠ABO+∠ABE=∠ABO+∠OBC=90° ，所以三角形OBE为等腰直角三角形，所以∠BOE=45° ， OE=2√2 。
在三角形AOE中， AE2=25 ， OA2=17 ， OE2=8 ，即AE2=OA2+OE2 ，所以三角形AOE为直角三角形。
在直角三角形BOF中， ∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-45°=45° ，所以OF=BF=√2 。
在直角三角形ABF中， AB2=BF2+AF2 ，即可求出正方形的面积。具体过程见解法1 。
本题的最大难度就是辅助线的作法。从上面的解题过程可以看出，作了多达5条的辅助线。那么有没有更加简单的方法呢？确实是有的，不过需要用到高中的余弦定理。如下图，如果用到余弦定理，那么只需要做三条辅助线即可求出正方形的面积。

按照解法1的过程，得到∠AOE=90° ， ∠BOE=45° ，那么∠AOB=135° 。在三角形AOB中，，由余弦定理可以得到：AB2=AO2+OB2-2AO·OBcos∠AOB ，这样也可以得到正方形的面积。详细过程见解法2 。
解法2稍微简单一点，但是用到了余弦定理。不过如果真的对余弦定理比较熟悉，那么本题不需要做辅助线同样可以求解。

在三角形AOB中，由余弦定理可以求出角ABO的余弦值，同样在三角形BOC中也可以求出角OBC的余弦值。因为∠ABO+∠OBC=90° ，所以cos∠OBC=sin∠ABO ，再用同角三角函数的平方关系即可列出一个方程，从而求出AB的平方。详细过程见解法3 。
【初中数学|初中数学竞赛题：求正方形的面积，难住众多学霸，关键是做辅助线】这虽然是一道初中数学竞赛题，但是对于高中生来说也是一道非常不错的题目。它将高中数学的特点展现得淋漓尽致，那就是几何问题代数化。比如解法1用几何方法求解，虽然计算量不大，但是需要多条辅助线，这也是不少同学比较害怕的一点。而解法3用高中知识求解，计算量虽然偏大，但是不需要做辅助线，做起来反而简单。

初中数学|初中数学竞赛题：求正方形的面积，难住众多学霸，关键是做辅助线

推荐阅读

【西藏飞蝗】我国蝗虫研究史、蝗虫品种及蝗灾最新控制技术

世界第二高峰是哪座峰?世界最高第二峰是什么峰

飞豹战机|美航母火速逃离南海，大批飞豹战机返航基地，俄：这一刻扬眉吐气

同花顺财经@5G吞噬Wi-Fi：流量锐减

央视|加拿大扮演了美方帮凶，外交部：孟晚舟事件是彻头彻尾的政治事件

**大厦|接连出售资产 *ST时万保壳动作不断**

乐居网推动科技创新助力物业管理升，红杉中国、腾讯共同战略投资世茂服务

「楠竹一」随后得出悲观结论，中国不会再中招，美曾秘密试验切断GPS信号

iQOO手机iQOO 5系列前瞻！性能、拍照、惊喜都有了，就差一个真香价？

4am战队|Pcs7落幕，4AM拿102分倒数第一，韦神的职业生涯或将到此为止

杜海涛和沈梦辰结婚了吗？杜海涛28岁就身家过亿，为何抠门到卖粉丝礼物？

甲状腺@床头不要随便放这3样东西，致癌风险越大！你的床头有几样？

今朝装饰今朝装饰进军适老装修蓝海还是噱头

历史趣谈人|见人就掏心掏肺的三大生肖女，傻乎乎的，待人善良真诚，最没心眼

我叫小丁兰|搞怪有趣，总有一个逗乐你，幽默段子：让你笑掉大牙的幽默笑话

迪拜收入水平是多少？阿联酋迪拜

国安|从四连胜到三轮不胜，国安和鲁能完全“颠倒”！两战升班马太丢人

周文健|知名港星现身豪宅吃大餐！62岁发福变化大，定居内地花200万开店

橘片爽蒸蛋的做法是什么？

跟团旅游有哪些不人性化的地方