初中数学|初中数学竞赛题：求正方形的面积，难住众多学霸，关键是做辅助线
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大家好！今天和大家分享一道初中数学竞赛题：如图 ， 求正方形的面积 。 这道题的难度还是比较大的 ， 据说难住了众多学霸 。 这是一道几何题 ， 几何题的难点或者说关键点就是辅助线的做法 ， 正确作出辅助线后 ， 其实难度也就不大了 。
这道题的辅助线实际上考查的是旋转法做辅助线 。 旋转法做辅助线一般需要出现边长相等的情况 ， 最常见的就是出现在等边三角形和正方形中 。
本题中 ， 可以作∠BAE=∠BCO ， ∠ABE=∠OBC ， 容易得到三角形ABE全等于三角形CBO ， 就相当于将三角形CBO旋转到了三角形ABE的位置 。
作出三角形ABO后 ， 再连接OE ， 并过点B作AO的垂线 ， 交AO的延长线于点F ， 如下图 。
作出辅助线后 ， 易得BE=OB=2 。
因为∠ABO+∠OBC=90° ， 所以∠OBE=∠ABO+∠ABE=∠ABO+∠OBC=90° ， 所以三角形OBE为等腰直角三角形 ， 所以∠BOE=45° ， OE=2√2 。
在三角形AOE中 ， AE2=25 ， OA2=17 ， OE2=8 ， 即AE2=OA2+OE2 ， 所以三角形AOE为直角三角形 。
在直角三角形BOF中 ， ∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-45°=45° ， 所以OF=BF=√2 。
在直角三角形ABF中 ， AB2=BF2+AF2 ， 即可求出正方形的面积 。 具体过程见解法1 。
本题的最大难度就是辅助线的作法 。 从上面的解题过程可以看出 ， 作了多达5条的辅助线 。 那么有没有更加简单的方法呢？确实是有的 ， 不过需要用到高中的余弦定理 。 如下图 ， 如果用到余弦定理 ， 那么只需要做三条辅助线即可求出正方形的面积 。
按照解法1的过程 ， 得到∠AOE=90° ， ∠BOE=45° ， 那么∠AOB=135° 。 在三角形AOB中 ，， 由余弦定理可以得到：AB2=AO2+OB2-2AO·OBcos∠AOB ， 这样也可以得到正方形的面积 。 详细过程见解法2 。
解法2稍微简单一点 ， 但是用到了余弦定理 。 不过如果真的对余弦定理比较熟悉 ， 那么本题不需要做辅助线同样可以求解 。
在三角形AOB中 ， 由余弦定理可以求出角ABO的余弦值 ， 同样在三角形BOC中也可以求出角OBC的余弦值 。 因为∠ABO+∠OBC=90° ， 所以cos∠OBC=sin∠ABO ， 再用同角三角函数的平方关系即可列出一个方程 ， 从而求出AB的平方 。 详细过程见解法3 。
【初中数学|初中数学竞赛题：求正方形的面积，难住众多学霸，关键是做辅助线】这虽然是一道初中数学竞赛题 ， 但是对于高中生来说也是一道非常不错的题目 。 它将高中数学的特点展现得淋漓尽致 ， 那就是几何问题代数化 。 比如解法1用几何方法求解 ， 虽然计算量不大 ， 但是需要多条辅助线 ， 这也是不少同学比较害怕的一点 。 而解法3用高中知识求解 ， 计算量虽然偏大 ， 但是不需要做辅助线 ， 做起来反而简单 。
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