初中数学|一道美国初中数学竞赛题：求阴影部分面积，小学生看完直呼简单蝴蝶

【初中数学|一道美国初中数学竞赛题：求阴影部分面积，小学生看完直呼简单】

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大家好，今天和大家分享一道美国初中数学竞赛题：求阴影部分的面积。这道题目看似很难，但是想明白其中的关键点后，就连上过奥数的小学生都表示非常简单。那么究竟是一道什么样的题目呢？下面我们一起来看一下。
题目：如图，四边形ABCD为矩形，点E、F为边AD上的两点，连接BF和CE相交于点O 。已知三角形EOF的面积为1 ，四边形ABOE的面积为3 ，三角形BOC的面积为4 ，求阴影部分的面积。

图中阴影部分是一个不规则的四边形，要直接求解显然比较困难。求解这种图形面积的一般思路有两种：一是通过做辅助线将四边形分成两个三角形；二是将所求四边形放在另外一个大的图形中，然后用大图形的面积减去其他部分的面积即可。
先来看思路一。无论是连接CF还是OD都可以将阴影部分分成2个三角形，但是分出来的2个三角形的面积都很难计算出来。所以这个思路行不通了。

再来看思路二。比较容易想到的就是将阴影部分放入三角形CDE或者直角梯形BCDF中，但是三角形CDE和直角梯形BCDF的面积也不好计算。那么再换个角度，将阴影部分放到矩形ABCD中呢？如此一来，阴影部分的面积就等于矩形面积减去另外三部分的面积。
我们先来看一下利用初中知识求解。

矩形的对边平行，所以BC//EF ，所以三角形BOC相似于三角形FOE(相似三角形的“X”模型) 。因为三角形BOC的面积为4 ，三角形EOF的面积为1 ，所以这两个三角形的相似比为2：1 。所以BC=2EF ，且三角形BOC中边BC上的高也是三角形EOF中边EF上的高的2倍。
设EF=x ，三角形EOF边EF上的高为y ，则三角形EOF的面积为xy/2=1 ，即xy=2 。所以矩形ABCD的面积为2x*3y=6xy=12 ，然后再减去另外3部分的面积就是阴影部分的面积了。详细过程见下图。
用初中知识求解本题，难度也不大。不过用小学的知识来解还会更加简单，甚至可以口算得出答案。

连接BE和CF ，那么在梯形BCFE中就出现了一个蝴蝶模型。梯形中的蝴蝶模型有两个重要结论：一是两翅膀三角形的面积相等，即三角形BOE和三角形COF；二是头尾两三角形的面积之积等于两翅膀三角形的面积之积，即三角形EOF和BOC的面积之积等于三角形BOE和COF面积之积。这样就可以求出三角形COF的面积，从而求出三角形ACF的面积和矩形面积。
对比一下两种解法，很明显用小学的蝴蝶模型更加简单，甚至不用动笔也能计算出结果，所以有小学生直呼这道题太简单了。你觉得呢？

初中数学|一道美国初中数学竞赛题：求阴影部分面积，小学生看完直呼简单

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