科学|史上最强方程，为求解42=33，超级计算机都顶不住了( 二 )
Booker受此启发 ， 设计了一种简单的算法 ， 大大提高了搜索的效率 ， 并且他将搜索上限提升到10的16次幂 。
具体而言 ， 他对方程做了一些简单的变换 ， 首先：
x3+y3+z3=33
x3+y3=33-z3
(x+y)(x2-xy+y2)=33-z3
由于 x+y 为非零整数 ， 方程可以被转换为：
x2-xy+y2=(33-z3)/d
x+y=d
只要选定 z 和 d 的值 ， 那么这就是一个二元二次方程组 。 计算机要做的就是针对不同的 z 值和 d 值 ， 确定方程组是否有整数解 。
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Booker认为之前的算法“不知道它们在找什么” ， 它们可以在给定范围内对整数进行搜索 ， 寻找方程 K = x3 + y3 + z3 的解 ， 其中K为任意整数 。
也就是说 ， 旧的算法不能针对特定的K求出方程的解 ， 比如对于 k = 33 ， 而他的算法可以 。
也正因此 ， 相比于那些没有目标的算法而言 ， 它的运行速度“在实际运用中要快 20 倍” 。
Booker 使用了大学里的超级计算机 ， 他原本以为要花上六个月 ， 但实际上只用了三个星期 。 计算机就从千万亿种可能性中筛选出了三个奇怪的16位整数 。
经过验算 ， Booker 高兴得在办公室里跳了起来 ， 毕竟 ， 中彩票的概率和这个相比 ， 简直是沧海一粟 。
Booker 笑称 ， 那三个解对应的数字他自己都背不下来 。 这样的计算显然不是人力能够完成的 。
如今 ， 在100以内的整数中 ， 去掉不存在解的整数之外 ， 无法表示成三个整数的立方之和的如今只有42了 。
Booker 计划将搜索范围提升到10的17次幂 ， 以寻找K=42对应的解 ， 他已经确定在10的16次幂范围内不存在解 。
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“刮彩票”的意义
既然解丢番图方程就像买彩票 ， 为什么还要在这上面花这么大力气呢？
Booker 和其他专家也表示 ， 每个新发现的解并不会为寻找下一个解提供线索 。 而且即便“解决”了 42 ， 数论学家仍会面临 101 至 1000 之间的 11 个尚未找出解的更“顽固”的整数 。
Booker 说：“我认为这些研究目标的有趣程度 ， 还不足以证明花费大笔钱款随意占用一台超级计算机是值得的 。 ”
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但数论学家感兴趣的 ， 却是丢番图方程的性质 。 例如 ， 目前不存在能够可靠判断任意给定的丢番图方程是否有解的数学方法 ， 这勾起了数论学家们的好奇心 。
有数学家认为 ， 当K除以9的余数为4或5的时候 ， 方程 k = x3 + y3 + z3无解 。 这个猜想已经通过了初步检验 ， 但是目前还未得到严谨的证明 。
丢番图方程的解必须为整数 ， 并且不同K值对应的解十分随机和分散 ， 对相差不大的K值（例如29和33）,可能一个能轻松地找到一组较小的解 ， 另一个对应的解的数字却极其庞大 。
Browning 说：“这个代数结构有着丰富的内涵 ， 隐藏着和丢番图方程毫无关系的其它数学问题 ， 并且能够模拟计算机 。 ”
或许 ， 丢番图方程所蕴含的智慧 ， 远远比我们想象的要多 。
讲了这么多 ， 超模君想说的是 ， 费马大定理在研究之初 ， 也是让人一头雾水 ， 只能证明单个的数字 。 但是随着诞生的“金蛋”越来越多 ， 最终被证明在域内皆成立 。
既然丢番图方程的衍生问题——费马大定理在提出三百多年后终于被英国数学家怀尔斯证明 ， 想必 ， k = x3 + y3 + z3 这个问题也能在颇具魅力的数学世里取得全新的突破 。
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