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爱因斯坦■三角形内角和一定是 180°吗？绝世传奇，怪诞的非欧几何( 四 )


看得出来 ， 黎曼空间较之我们平常所称的空间内容要丰富得多 ， 我们平常所称的空间乃是黎曼空间的一种特殊形式 ， 精确地说 ， 它就是欧几里得几何学的空间 ， 它的曲率为零 。 与之相对 ， 罗巴切夫斯基几何学中的空间的曲率为负 ， 而黎曼几何学的空间曲率为正 。 所有这些空间都属于“黎曼空间” 。 这“曲率”说明了什么呢？简而言之 ， 它说明了空间就像线一样是可以弯曲的 ， 它可以有自己的“曲率” ， 即弯曲的比率、程度或者形式 。 空间难道可以弯曲吗？有点不可思议吧？但事实上它不但可以 ， 而且这弯曲的空间并非一种纯粹的数学幻想 ， 而是实际存在的 ， 它后来被爱因斯坦证实了 ， 这就是我们后面讲物理学时要说的广义相对论 。
从黎曼几何发现起 ， 就注定了不平凡 ， 经过后续无数数学家们的完善和发展 ， 黎曼几何不仅对拓扑学、偏微分方程、多复变函数理论等数学分支产生重要影响 ， 更直接影响现代物理学的发展 。
爱因斯坦 ， 在1915年发表了著名的广义相对论 ， 正是以黎曼几何为数学基础 。
爱因斯坦在广义相对论里说明到：“放弃了关于时空均匀性的观念 ， 认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的 ， 但是整个时空却是不均匀的 。 ”
这个关于时空的物理解释 ， 正是黎曼几何的数学观念 ， 因此 ， 爱因斯坦的广义相对论中的空间几何本质上就是黎曼几何 。
除了罗氏几何和黎曼几何外 ， 还有其他一些非欧几何值得我们去关注 。
射影几何
它是专门研究图形的位置关系的 ， 也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候 ， 图形的不变性质的科学 。
拓扑几何
拓扑学起初叫形势分析学 ， 是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词 。 十九世纪中期 ， 德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学 ， 从此开始了现代拓扑学的系统研究 。 哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题 。
实数到虚数 ， 从欧氏几何到非欧几何 ， 不仅是一种数学上突破 ， 其背后蕴含着思维方式的转变 ， 实际是体现的也是哲学观的转变 。
1、突破人类思维的惯性 ， 尊重经典 ， 但不迷信经典
从欧氏几何到非欧几何的突破并不是来源于现实生活的需要 ， 而是人类思维主动寻求突破的结果 。 在这一全新的概念被发掘建立的时候 ， 现实中并没有表现出对它们的强烈需要 ， 其创立是数学家们大胆地否定创新 ， 天马行空地思维想象产生的 ， 而天马行空的想象是思维主动性的重要体现 。 人的思维是有惯性的 ， 一个新的理念和新的概念提出 ， 往往很难被人接受 ， 但科学探索的的意义就是要打破人的思维惯性 。
2、思维的突破为世界打开全新的窗户
在科研的过程当中 ， 理论和实践是一对统一的概念 ， 有时候是通过创新性的实践推动了理论的发展 ， 这一点在自然科学领域尤其明显 ， 很多科学发现都是源自于现实中的观测和实验结果 ， 科学家在总结大量实践规律的基础上完成了理论创新 。 但事实上理论的创新也可以反过来推动科学实践的发展 。 很多时候理论创新的重要性并不能够在很短的时间内体现出来 ， 非欧几何的创新都在很长一段时间内被学界认为是毫无意义的 ， 甚至被认为是钻牛角尖的产物 ， 没有任何的现实意义 ， 但事实上经过了时间的沉淀 ， 这些概念不仅没有消沉 ， 反而大放异彩 。
3、遇到问题 ， 要敢于和善于否定
从欧氏几何到非欧几何无不开始于大胆地否定 。 在非欧几何的创立过程中 ， 数学家千百年来无法证明平行定理 ， 于是便推翻平行定理 ， 否定了欧氏几何的理论基础 ， 将几何由平面空间推向了弯曲空间 。 在大胆地否定之后产生了全新的概念 ， 这是对原概念逻辑的冲击和否定 ， 但新概念和旧概念并非是完全对立的 ， 大胆创新形成的新概念和旧概念一起构成了全新的数学体系 。 非欧几何则作为欧氏几何的对立 ， 与欧氏几何一同完善了几何学的理论框架 ， 二者一同形成了更广阔深远的几何概念 。 这是一个否定之否定的过程 ， 从矛盾产生到矛盾的消解 ， 经过一个螺旋上升的过程 ， 将科学理论提升到一个全新的高度 。 数学领域如此 ， 哲学社会科学领域是不是更加如此呢？


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