江苏龙网

  1. 首页 > 人文 > >

爱因斯坦■三角形内角和一定是 180°吗？绝世传奇，怪诞的非欧几何( 三 )


欧几里得的第五公设可以简单地表述为：经过直线外一点 ， 有且只有一条直线与已知直线平行 。 对它的否定有两种可能 。 第一种可能是：在同一平面上 ， 经过直线外一点 ， 不止一条直线与已知直线平行 。 第二种可能则是：在同一平面上 ， 经过直线外一点 ， 没有直线与已知直线平行 。
那么这两种说法哪种对呢？答案是：两种都对 。 罗巴切夫斯基正是从前者出发 ， 得出了他的罗巴切夫斯基几何学 ， 而黎曼则从后者出发 ， 得到了他的黎曼几何学 。 我们先来看更早诞生的罗巴切夫斯基几何学 。 罗巴切夫斯基几何学的出发点是罗巴切夫斯基平行公理：在同一平面上 ， 通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行 。 我们这里要注意的是 ， 这里的平行意思就是永不相交 。
依据这个公理 ， 罗巴切夫斯基得出了一系列的其他定理 ， 我们这里目举几个：
1、在同一平面上不相交的两直线 ， 被第三条直线所截 ， 同位角（或内错角）不一定相等 。
2、同一直线的垂线和斜线不一定相交 。
这两个定理可以用图示如下：
在左边的图形中 ， 就是说直线a与直线b是永不相交 ， 即平行的 ， 而且∠α≠∠β 。 而右边的图形中 ， 直线a和b永不会相交 。
【爱因斯坦■三角形内角和一定是 180°吗？绝世传奇，怪诞的非欧几何】3、三角形内角和小于两直角 。
4、两三角形若有三内角对应相等 ， 则两三角形全等 。
如此等等 ， 类似的定理还有很多 。 看得出来 ， 这四个定理与我们在欧几里得几何学中所见过的都大为不同 ， 而且似乎都是错的 ， 不符合我们的直观 。 然而 ， 如果深究它们 ， 却可以发现在这貌似谬误之下蕴藏着深刻的真理 。
我们再来看黎曼几何学 。 黎曼几何学的出发点是上面否定欧几里得第五公设的第二种可能性 ， 即在同一平面上 ， 经过直线外一点 ， 没有直线与已知直线平行 。 或者也可以说成：在同一平面上 ， 任何两条直线一定相交 。 或者还可以说成：世界上并不存在无限延伸的直线 ， 任何直线都是有限的 。
为什么这么说呢？我们如果真的沿着欧几里得那种纯粹的“平面”上的直线行走 ， 那么自然永远走不到尽头 ， 也就是说直线是无穷的 。 但实际上有没有这样的平面呢？没有 。 举个例子吧 ， 假设我们在大地上的某一点铺一根长长的白纸条 ， 一路铺过去 ， 就像一路将一条直线画过去一样 ， 那么这纸条会不会永远没有尽头呢？答案是否定的 。 事实上 ， 铺过很长很长后 ， 我们会发现 ， 前面就是我们之前出发的端点 。
这样的原因大家都明白：因为地球是一个球体 ， 因此那些我们在地上画出来的直线实际上并非直线 ， 而是曲线 。 当我们顺着地球表面延伸时 ， 它走过的路实际上有如地球的一条经线或纬线 ， 这样当然必定相交 。 与直线相应 ， 由直线的一部分线段构成的三角形也差不多 ， 我们现在在纸上画一个三角形 ， 看上去好像是由三条直线构成的 ， 实际上不是 ， 由于它们是画在一张纸上的 ， 而纸是铺在大地上的 ， 而大地表面可不是理想的平面 ， 而是一个球面 ， 因此那三角形也就是一种“球面三角形" 。
这种球面三角形有什么特点呢？它的主要特点就是三内角和大于180° 。 这就是黎曼几何学得出的另一个独特的定理 ， 可以看出来 ， 它与罗巴切夫斯基几何学中的三角形三内角和小于两直角刚好相对 。 进一步地 ， 黎曼设想出了这样一种几何学 ， 它适合各种面 ， 包括平面与曲面 。 就像在丘陵地带行走一样 ， 它有些地方是平坦的 ， 但有些地方却有着各样的山包高地等 。
在这样的地形 ， 两点之间距离的计算公式将随着地点的不同而变化 ， 例如在平面上是直线的 ， 到了山包就是曲线了 ， 二者计算距离的公式当然有所区别 。 因为这里有了一个所谓“曲率”的问题 ， 而黎曼就是要找到这样一种几何学 ， 它能够根据曲率的不同而自行调整 ， 并且能够计算出各种曲率下的距离等 。 与线段的长度相似 ， 黎曼认为平面与立体的空间也是这样 ， 它也有着自己的“曲率” ， 由于“曲率”的不同 ， 空间呈现不同的形式 ， 他的几何学能够将所有这些空间统一起来 。 所有这些空间被总称为“黎曼空间" 。


推荐阅读


上一篇：华为@要出手了？华为提议重构互联网核心，若成真美国怕是坐不住了

下一篇：「旅行者」已飞222亿公里，旅行者1号传回的最后一张照片，引起人类思考！