暖栀|解决了一个困扰学界数十年的难题，她用读博的业余时间
当代最伟大的数学家之一约翰·霍顿·康威（JohnHortonConway）于今年4月11日在普林斯顿逝世 。 就像其他一些伟大的数学家 ， 他也留下了著名的难题 。 他在半个多世纪前发现的康威扭结引发的一个拓扑学难题——康威扭结是否为更高维结构的切片——就难倒了无数数学家 。 但最近 ， 这个难题却被一位博士生用一周的业余时间解决了 。
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莉萨·皮奇里洛（LisaPiccirillo）|图片来源：IanMacLellanforQuantaMagazine
撰文EricaKlarreich
翻译石云雷
编辑吴非
康威扭结的切片问题 ， 困扰了数学家几十年的时间 ， 却在莉萨·皮奇里洛（LisaPiccirillo）的证明下迎刃而解 。 皮奇里洛是如何做到的？这还要从2018年说起 。
那年夏天 ， 她在一个低纬度拓扑学和几何学会议上 ， 了解到这一有趣的数学问题 。 当时 ， 皮奇里洛还没有意识到这是一个著名的难题 ， 只是认为它或许能用来测试她在得克萨斯大学读研究生时开发的工具 。
皮奇里洛表示：“我并没有用白天的工作时间去解决这个问题 ， 也没有把它看作真正的数学问题 ， 更像是把它当作家庭作业 。 ”
在一周之内 ， 皮奇里洛就得到了个答案：康威扭结不是高维空间扭结的切片(slice) 。 数天后 ， 她遇到了得克萨斯大学奥斯汀分校的教授卡梅伦·戈登（CameronGordon） ， 并简单地提及了她的解决方法 。 戈登回忆说：“当时我说 ， ‘什么？.....那你应该立刻把论文发到《数学年刊》 。 ’”这是数学领域的顶级期刊之一 。
现在 ， 皮奇里洛已是布兰迪斯大学的博士后 ， 她回忆起当时的场景：“他开始叫嚷道 ， ‘为什么你一点也不兴奋？’他有点兴奋过头 。 ”但戈登说：“我想说她并没有意识到这是一个多么古老、经典的难题 。 ”
今年2月 ， 《数学年刊》发表了皮奇里洛的证明 。 在完成博士学位仅仅一年后 ， 皮奇里洛靠这篇论文和其他研究工作 ， 获得了麻省理工学院的教职 。
四维空间中的扭结理论
说到扭结 ， 大多数人会想到在一根有两端的绳子上打的结 ， 而数学家考虑的则是绳子的两头连在一起的情况 ， 这时扭结就无法解开了 。 在过去的一个世纪里 ， 这些扭结已经帮助科学家解释了从量子物理学到DNA结构 ， 以及三维空间的拓扑结构等一系列问题 。
如果将时间算在内 ， 我们的世界是四维的 。 因此 ， 我们很自然地会想到一个问题：四维空间里是否存在相应的扭结理论？这不仅仅是将三维空间里的扭结放在四维空间里这么简单 ， 还需要解决的一个问题是 ， 在四维空间中 ， 如果绳结在第四个维度上相遇 ， 这时扭结就会解开 。
最早在20世纪20年代 ， 数学家就建立了这一理论：为了在四维空间制造一个扭结 ， 你需要一个二维的球面 ， 而不是一个一维的环 。 正如三维空间能为构建打结的环提供足够的空间 ， 但不足以让扭结解开 ， 四维空间中 ， 打结的球面也是如此 。
四维空间中打结的球面是什么样的？要想象这样的画面似乎很难 ， 为了帮助我们理解 ， 让我们首先考虑三维空间中的普通球面 。 穿过这个球面 ， 你将看到一个没有打结的环 。 但当你在四维空间穿过一个打结的球面时 ， 你看到的可能是一个打结的环 。 （根据切割的位点 ， 你还可能看到一个未打结的环 ， 或几个连接在一起的环）穿过打结的球面制造出来的扭结 ， 就被认为是“切片”（slice） 。 另一些扭结不属于切片 ， 例如三叶结 。 切片扭结成为连接三维空间和四维空间中扭结理论的桥梁 。
但是 ， 一个特征让四维空间中的扭结具有丰富性和独特性 。 在四维拓扑学中 ， 存在两种不同的切片扭结 。 在20世纪80年代早期 ， 随着一系列革命性理论的发展 ， 数学家发现四维空间不仅含有最初发现的光滑球面 ， 也包括含有各种皱褶的非光滑球面 。 而扭结是否是切片还取决于 ， 是否选择包含这些皱褶的球面 。 莱斯大学的谢利·哈维（ShellyHarvey）说：“有一些特别奇怪的物体 ， 就像是由魔法产生的 。 ”
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