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「」雷迪亚兹2.0版：地球撞太阳，需要多长时间？( 二 )


「」雷迪亚兹2.0版：地球撞太阳，需要多长时间？
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如果你尝试了这件事 ， 最终会发现满足上述约束条件的唯一公式是:
时间= ( R^3 / GM)^1/2
(其中 ， 上标“1/2”表示取括号内的项的平方根)这就是用于粗略估计的公式 。 它是一定正确的公式吗?不,不完全是 。 公式前面可能会有其他系数(比如2、3或7) ， 但是因为缺少完整的计算,所以我们可以无法确定这个数字具体是多少 。 然而,在像这样简单的问题中,前面的系数不会非常大 ， 不会产生决定性的影响;天文学家习惯说,从数量级上考虑 ， 上述方程是合理的 。 它可能不会给我们确切的正确答案,但它给了我们一个足够接近正确答案的估计 。
「」雷迪亚兹2.0版：地球撞太阳，需要多长时间？
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如果我们把M ， R ， G的值代入这个公式 ， 我们得到的答案是500万秒 ， 大约是58天 。 这和真正的答案有多接近呢?如果你做了所有复杂的积分计算来精确地求出地球下落到太阳时 ， 在每个时间点上的位置 ， 你最后得到的公式将是：
时间=1.1( R^3 / GM)^1/2
所以这两个公式的结果只相差10% ， 这已经很好了!真正的答案是大约65天 ， 粗略估计的答案已经很接近这个值 ， 所以完全可以写“大约两个月” ， 就像这篇文章的开头写的那样 。
「」雷迪亚兹2.0版：地球撞太阳，需要多长时间？
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读者可能会对上述讨论和粗略估计有异议 。 比如 ， 如下可能存在的问题：
粗略估计总是有效的吗？并不是 ， 在很复杂的问题中 ， 可能有不止一个公式把所有的变量放在一起得到正确结果的单位 。 在这里是可行的 ， 是因为问题很简单(只有三个变量:M、R和G) ， 所以实际上没有其他可能的公式 。 如果你有一些物理背景 ， 还有其他方法可以在更广泛的情况下进行粗略估计的计算 。 例如 ， 在本文的问题中 ， 你可以使用地球到太阳的两个不同点的能量守恒来得到正确公式的估计值 。 试试这个思路 ， 看看你会得到什么!答:如果你选择起点和“中点”作为两个位置 ， 那么利用能量守恒原理可以得到等式：GM/R = V^2/2 ， 其中V是地球在中点的速度 。 当然 ， 我们知道地球的速度会随着它的下落而增加 ， 所以很难精确地计算出它在任何给定的点上具体值是多少 ， 但是如果把V估计成“R除以时间” ， 那么就会得到一个最终的公式：
时间= 0.7 ( R^3 / GM) ^1/2
在数量级上 ， 它和上面的公式是一样的 。 在这种情况下 ， 使用它会给你一个有一点偏差的答案,(超过1个月,而不是2个月),但它仍然是有价值的一个估计,这个计算足以告诉你,地球不会在几小时之内撞到太阳,也不会在数百年内 。
「」雷迪亚兹2.0版：地球撞太阳，需要多长时间？
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有关解决这个问题的其他方法的信息(包括完整的积分方法 ， 以及一个涉及轨道物理学的简洁方法) ， 请参阅这个问题的物理链接答案 。 (这种涉及轨道物理学的方法在这里是可行的 ， 但不能像估算数量级那样普遍适用于其他问题 。 事实上 ， 如果把地球落向太阳看作是一个非常细长的椭圆轨道的一半 ， 它的轴长度等于地球到太阳的距离 ， 那么可以利用开普勒定律来证明时间必须等于0.55/2年 ， 也就是大约65天) 。
为什么不需要考虑除M、R、G以外的其他参数？比如地球的质量 ， 地球的大小和太阳的大小 。 但是 ， 如果我们查一下这些数字 ， 就会发现这三个量是可以忽略不计的 。 地球的质量大约是5.97 x 10^27克 ， 比上面引用的太阳质量的小了几十万倍!所以相对于太阳的引力 ， 它的重力肯定是微不足道的(如果你有一点物理背景 ， 就会知道地球落向太阳的速度只受太阳的影响 ， 不会依赖于地球质量,出于同样的原因,在真空中 ， 羽毛和锤将会以同样的速度下落) 。


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