谈谈戈森的“效用”计量模型
戈森先生在《人类交换规律与人类行为准则的发展》中提出了一个直角三角形计算“效用”模型 。 直角三角形的水平线表示一定时间同时代表消费一定商品的数量 ， 直角三角形的垂直线表示“边际效用”（戈森称为享受开始的量 ， 实际是边际效用） 。 三角形的面积表示总“效用”量（即戈森所谓的总享受量） 。 应该说戈森直角三角形是计算“效用”的正确模型 。 直角三角形面积确实表示的是“效用” 。 但是非常遗憾的是：戈森的“效用”模型非常正确 ， 但是他并没有给出可以计量效用的正确公式 。 他给出的计量“效用”的公式非常复杂难以理解 ， 因此也没有被使用 。 笔者已经通过了其他方法得出了效用、边际效用的计量公式 。 介绍如下： 基本假设 1. 假设效用、边际效用可以用函数表示 ， 而且均是连续函数； 2. 假设边际效用递减 ， 而且是直线式递减 ， 边际效用函数方程为直线方程； 3. 假设效用用百分数（不是基数）表示 ， 最大效用为100% 。 4. 假设消费者对商品的需要有最大值——餍足量 ， 即消费者消费到餍足量的数量 。 在餍足量处 ， 效用为100%边际效用为0 。 以上假设的根据是西方经济学教科书给出的效用、边际效用图像及有关餍足量的定义 ， 其中效用用百分数计量不用基数计量是笔者的观点与西方经济学教科书不同（这一点非常重要 ， 是求解效用、边际效用方程的关键） 。 效用、边际效用函数方程推导： 根据假设2 ， 边际效用函数方程为直线方程 ， 而边际效用是效用的导数 ， 可以推出效用方程为二次函数 。 假设效用方程为：U=aX2（2是幂）+bX 假设边际效用方程为：dU/dX=2aX+b 假设餍足量为A 当X=A时 ， 有： U=1=100% ， dU/dX=0 即： 1=aA2(2是幂）+bA 0=2aA+b 可求出： a=-1/A2（2是幂） b=2/A 效用方程为：U=-X2（2是幂）/A2（2是幂）+2X/A=X(2A-X)/A2（2是幂） 边际效用方程为：dU/dX=-2X/A2（2是幂）+2/A=2(A-X)/A2（2是幂） 令K=X/A有： U=K(2-K) dU/dX=2(1-K)/A 戈森没有给出以上效用、边际效用公式 。 虽然他知道直角三角形的水平线表示餍足量A ， 但是他没有意识到直角三角形的面积是1（100%） ， 所以他无法求出直角三角形垂直线是2/A 。 直角三角形的直角边的数量确定了 ， 计算直角三角形内部的某种图形（例如梯形 ， 三角形）面积 ， 给出具体的餍足量的比例就可以了 。 根据戈森的思想 ， 可以把餍足量分为10份 ， 10份是常见的分份办法 ， 戈森也采用这个办法 。 在9个分界点处做垂线 ， 可以得到10个图形（9个梯形1个三角形） 。 可以计算出分10份后每一个的图形面积（从大到小排序） ， 表示效用 。 图形序号 单个图形面积 累计图形面积 1 0.19（19%） 0.19（19%） 2 0.17（17%） 0.36（36%） 3 0.15（15%） 0.51（51%） 4 0.13（13%） 0.64（64%） 5 0.11（11%） 0.75（75%） 6 0.09（9%） 0.84（84%） 7 0.07（7%） 0.91（91%） 8 0.05（5%） 0.96（96%） 9 0.03（3%） 0.99（99%） 10 0.01（1%） 1.00（100%） 可以计算出分10份后每一分界线对应的高度 ， 表示边际效用 。 分界线序号 高度 0 2.0/A 1 1.8/A 2 1.6/A 3 1.4/A 4 1.2/A 5 1.0/A 6 0.8/A 7 0.6/A 8 0.4/A 9 0.2/A ？ 0.0/A 根据戈森模型计算出的效用、边际效用值与笔者推出的相应的效用、边际效用值一致： 效用、边际效用表 K值 效用 边际效用 A=10边际效用 0.0 0.00（0%） 2.0/A 0.20 0.1 0.19（19%） 1.8/A 0.18 0.2 0.36（36%） 1.6/A 0.16 0.3 0.51（51%） 1.4/A 0.14 0.4 0.64（64%） 1.2/A 0.12 0.5 0.75（75%） 1.0/A 0.10 0.6 0.84（84%） 0.8/A 0.08 0.7 0.91（91%） 0.6/A 0.06 0.8 0.96（96%） 0.4/A 0.04 0.9 0.99（99%） 0.2/A 0.02 1.0 1.00（100%） 0.0/A 0.00 也就是说 ， 戈森的效用、边际效用直角三角形计算模型是正确的 。 为什么该模型是正确的呢？可以认为该模型的斜边表示的是边际效用方程直线 ， 而对三角形进行面积计算就相当于积分 ， 积分的结果当然是效用 ， 因为边际效用方程的积分是效用方程 。 戈森没有发现本文给出的效用、边际效用计量公式 ， 但这或许这是一件好事 ， 因为效用、边际效用的不可计量 ， 希克斯等发明了序数效用（偏好）无差异曲线 ， 这对微观经济学的发展还是颇有意义的 。 虽然戈森先生没有给出正确的效用、边际效用计量公式 ， 但是戈森先生的效用、边际效用的开山祖师地位不容否定 ， 成熟的基数效用理论基本上都源于戈森的思想 。
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