什么是抽屉原理呢 什么是抽屉原理公式( 六 )
所以,假设不成立,故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi
形式五:证明:(用反证法)将无穷多个元素分为有限个集合,假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个,则有限个有限数相加,所得的数必是有限数,这就与题设产生矛盾,所以,假设不成立,故必有一个集合含有无穷多个元素 。
例题1:400人中至少有两个人的生日相同.分析:生日从1月1日排到12月31日,共有366个不相同的生日,我们把366个不同的生日看作366个抽屉,400人视为400个苹果,由表现形式1可知,至少有两人在同一个抽屉里,所以这400人中有两人的生日相同.
解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个苹果,由抽屉原理的表现形式1可以得知:至少有两人的生日相同.
例题2:任取5个整数,必然能够从中选出三个,使它们的和能够被3整除.
证明:任意给一个整数,它被3除,余数可能为0,1,2,我们把被3除余数为0,1,2的整数各归入类r0,r1,r2.至少有一类包含所给5个数中的至少两个.因此可能出现两种情况:1°.某一类至少包含三个数;2°.某两类各含两个数,第三类包含一个数.
若是第一种情况,就在至少包含三个数的那一类中任取三数,其和一定能被3整除;若是第二种情况,在三类中各取一个数,其和也能被3整除..综上所述,原命题正确.
例题3:某校派出学生204人上山植树15301株,其中最少一人植树50株,最多一人植树100株,则至少有5人植树的株数相同.
证明:按植树的多少,从50到100株可以构造51个抽屉,则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.
(用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里,那只有5人以下植树的株数在同一个抽屉里,而参加植树的人数为204人,所以,每个抽屉最多有4人,故植树的总株数最多有:
4(50+51+…+100)=4× =15300<15301得出矛盾.因此,至少有5人植树的株数相同.
练习:1.边长为1的等边三角形内有5个点,那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点.
2.边长为1的等边三角形内,若有n2+1个点,则至少存在2点距离小于 .
3.求证:任意四个整数中,至少有两个整数的差能够被3整除.
4.某校高一某班有50名新生,试说明其中一定有二人的熟人一样多.
5.某个年级有202人参加考试,满分为100分,且得分都为整数,总得分为10101分,则至少有3人得分相同.
“任意367个人中,必有生日相同的人 。”
“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套 。”
“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同 。”
... ...
大家都会认为上面所述结论是正确的 。这些结论是依据什么原理得出的呢?这个原理叫做抽屉原理 。它的内容可以用形象的语言表述为:
“把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西 。”
在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日 。这相当于把367个东西放入 366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里 。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,...,5的手套各有两只,同号的两只是一双 。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同 。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里 。
抽屉原理的一种更一般的表述为:
“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西 。”
利用上述原理容易证明:“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数 。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数 。
如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:
“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西 。”
抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用 。许多有关存在性的证明都可用它来解决 。
1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目:
“证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识 。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出:
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人 。如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线 。考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,...,AF,它们的颜色不超过2种 。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色 。如果BC,BD,CD 3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识 。不论哪种情形发生,都符合问题的结论 。
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