量子计算机和容错量子计算——概念、现状和展望( 四 ) _量子计算机

宇称查验会牺牲一些量子比特的自由度。对于n 个量子比特的纠错码，如果宇称查验涉及s 个独立的泡利算符，那么我们可以存储k ≤ n - s 个被保护的量子比特信息。这是由于这些泡利算符正确值对应的量子态空间的维度是2n-s，因此在这个子空间内可以存储最多n-s 个量子比特信息。编码用到的n 个量子比特被称为物理量子比特，被保护的k 个量子比特被称为逻辑量子比特。在量子纠错中，每一个物理量子比特都对应了一个具体的两量子态物理系统，而一个逻辑量子比特则涉及到多个甚至所有物理量子比特，是最终用来存储信息和计算的量子比特。
宇称查验和斯特恩7量子比特码
我们用X和Z表示两个泡利算符，每个泡利算符有+1 和-1 两个本征值。比特错误会改变Z的值，相位错误会改变X的值。图中每一个圆对应了一个量子比特。对于斯特恩码，需要进行6 种宇称查验，分别是每一个四边形上4 个量子比特泡利算符的乘积，ZZZZ和XXXX 。经过观察可以发现，任何一个比特错误或相位错误都会导致特定一组宇称查验结果（即XXXX和ZZZZ的取值）的改变。因此，这些错误可以被发现并且纠正。

文章插图

有没有一种量子纠错码，它的宇称查验和重复码类似，只是对近邻量子比特的测量？由于在物理系统中量子比特之间往往是近邻相互作用，这样的纠错码更容易实现。1997 年，凯达耶夫（A.Kitaev）提出了拓扑码[19]，根据边界条件的不同，也被称为环面码或表面码（图3）。此后又发现了其他具有类似性质的量子纠错码。对于量子计算来说，目前综合看来表面码可能是纠错码最好的选择。

文章插图

图3 表面码和容错阈值
4.2 容错阈值
在量子计算中，需要通过对物理量子比特的操作来实现量子纠错所需要的宇称查验。而每一次操作都有一定概率引入错误，有可能导致纠错本身起到负面作用。因此，如果量子纠错能够起到预期效果，其前提条件是宇称查验过程中产生的错误不会使得错误没有减少反而增加了。这个条件被量化为容错阈值：当单次操作的错误率小于阈值的时候，量子纠错才能起到应有的作用。
对于表面码来说，当物理量子比特单次操作的错误率低于阈值的时候，纠错后逻辑量子比特的错误率随着表面码尺寸（码距）的增加而降低，如图3 所示。事实上，这种情况下逻辑错误率随着码距指数衰减。因此，我们可以通过增加码距，也就是使用更多的物理量子比特，来降低逻辑错误率。只要物理量子比特足够多，逻辑错误率就会足够低。数值模拟表明表面码的错误率阈值大约是1%[20] 。
关于容错阈值的两点说明
（1）阈值一般是在对错误分布的合理假设下得到的，假设与真实的物理系统之间还存在着差异。一般来说，假设包括每次操作的错误是独立分布的。常用的模型是去极化模型，即当错误发生的时候，相应物理量子比特的量子态完全被破坏。
（2）阈值是对单次操作的错误率来说的。例如整个计算包括N次操作，每次操作的错误率为p，那么在物理量子比特上发生错误的个数大概是Np 。即使在Np>>1 的情况下，只要p 小于阈值并且量子纠错码足够大，逻辑量子比特出错的概率还是可以足够低。
4.3 容错量子计算
通过查验物理量子比特之间的关系，逻辑量子比特被保护起来了。除此以外，我们还需要对逻辑量子比特进行操作来实现通用量子计算。并且这些操作不应该破坏对逻辑量子比特的保护。在这方面已经有大量的研究。为了能够进行通用量子计算，需要一组逻辑量子比特操作，包括初始化、通用量子门以及读取。其中某些操作可以直接进行而不明显增加逻辑错误率，另外一些操作需要通过引入魔术态[21]等处理方法来进行。容错量子计算的过程如图4 所示，这里不再赘述。总的来说，理论上基于逻辑量子比特的通用量子计算是可行的。

文章插图

图4 容错量子计算
目前看来，表面码可能是实现容错量子计算最好的选择。首先，表面码具有较高的容错阈值（~1%）。其次，表面码仅需要在近邻量子比特之间进行宇称查验，容易在物理系统中实现。虽然通过CSS码的级联可以得到更高的阈值（~3%）[22]，但需要在远距离量子比特之间进行宇称查验，也就是需要量子计算机内部的高保真度量子态传输，因此在物理系统中实现的难度更高。