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悖论的严格数学定义

逻辑大战以来 ， 最具学术价值的问题有三个：1）理发师悖论是逻辑上的悖论吗？2）芝诺悖论是逻辑上的悖论吗？3）罗素悖论是逻辑上的悖论吗？上述三个问题 ， 均系猫友@主权民享 所提 。 欲回答这三个问题 ， 就须先明确两点：一是定义何为悖论 ， 二是肯认一切悖论都是逻辑上的悖论 。 迄今为止 ， 逻辑学文献所给出的悖论定义确与权帖所引定义大同小异：在一个形式系统中 ， 对任意命题A ， 若下式成立 ， 则称A为该系统内的一个悖论（paradox）:(A⇒¬A)∧(¬A⇒A)(1)上式表征 ， 当命题A为真时 ， 可以导出命题¬A也为真 ， 并且当¬A为真时也可导出A为真 。显然 ， 仅根据上述定义是很难判别一个命题是否构成悖论的 ， 毕竟上述定义缺失论域 。 比如 ， 芝诺悖论是一组冗长的表述 ， 一般难以直观地看出它们究竟是否满足上式 ， 因而也就很难简洁地回答主权兄所提出的相应问题 。 有鉴于此 ， 主帖尝试给出一个更为严格且更具可判别性的悖论定义如下 。设C为一个条件集合 ， 则满足下式的命题A称为一个可定义在论域C上的悖论：[(C→A)⇒¬A]∧[(C→¬A)⇒A](2)式（2）表征 ， 悖论的构成须借助于一个或一组显性条件或隐性条件 。 显性条件是指一个或一组条件句中的分句 ， 隐性条件则为蕴含于陈述句中且经有限步骤可分离出来的条件分句 。 根据条件的语义 ， 即可判别一个命题是否构成悖论 。 例如 ， Zeno悖论里有一个著名的二分问题：“一个人从A点走到B点 ， 须先走完路程的1/2 ， 再走完剩下路程的1/2 ， 再走完剩下的1/2……如此递归 ， 则他永远不能抵达终点 。 ”根据式(2),可按下述算法有效判别该二分问题是否构成一个满足定义的悖论：设C={s,v,t} ， s=AB,v为行走速度 ， t为行走时长且t＞0 ， 则：1）v＞0时 ， ∃t:vt=s ， 即可抵达终点；2) v=0时 ， vt＜s ， 即永远不可能抵达终点；3）v＜0时 ， vt＜s ， 也永远不可抵达终点 。由此可见 ， 只要速度为正值 ， 芝诺二分问题里的行走者即可抵达终点 ， 从而不可能构成定义式（2）意义上的悖论 。 至于“每次都须走完所剩行程的1/2从而永远无法抵达终点”这一非定量的哲学思辨 ， 则因有违条件集合C={s ， v,t}而无物理意义 。 惟其如此 ， 至少芝诺悖论中的二分问题并不构成定义式(2)意义上的逻辑悖论 。 其它芝诺悖论 ， 请诸咖悉数补充 ， 三畏抛砖引玉了 。


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