曲率|为了爱因斯坦，我们是否要继续引入更高维度
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广义相对论常被类比为二维膜在球的压力下的弯曲 。 但薄膜在三维空间弯曲 。 四维时空会在五维中弯曲吗？
“不 ， 四维时空在五维中不会弯曲 。 这是因为弯曲时空的曲率不是空间曲率 。 看这篇
《物理FAQ》文章中写的：“同样 ， 在广义相对论中 ， 引力也不是真正的‘力’ ， 而只是时空曲率的一种表现 。 注意：不是空间的曲率 ， 而是时空的曲率 。 这两者的区别是至关重要的 。 弯曲的时空是你的“度量”的曲率 ， 度量与测量有关 。 请看下面来自维基百科的图片黎曼曲率张量 。
看起来2D薄膜在球的重量下弯曲：
【曲率|为了爱因斯坦，我们是否要继续引入更高维度】你在图中看到的曲率就是黎曼曲率 。 这是引力场的“决定性特征” ， 因为如果没有曲率 ， 二维薄膜就会是平坦的 。 如果没有这个曲率 ， 就不会有任何斜率 ， 那么光就不会弯曲 ， 物体就不会下落 。
至于为什么它是度量的曲率 ， 想象一下你可以把光学时钟放置在地球周围空间的赤道区域 。 由于引力时间膨胀 ， 这些时钟以不同的速度运行 。 当你绘制时钟速率图像时 ， 您可以在三维图像中将较慢的时钟描述为较低的向下 ， 而较快的时钟速率较高的向上 。 你的图是什么样子的 ， 就像上面的图 。 这是弯曲时空的图像 。 但是真正弯曲的是你的时钟频率图 ， 而不是空间 。
要想真正体会到这一点 ， 可以想象一下我们可以在上面的轨道上飞向地球 。 让我们飞得非常近 ， “放大”以消除任何由地球曲率引起的混乱 。 现在重新画这个图 ， 翻转“橡胶板”的张力来匹配爱因斯坦的应力-能量张量 ， 应力就是方向压力 。 我们现在的描述是这样的：
当你读了一些
爱因斯坦电子论文
你会更清楚到底发生了什么 。 能量的集中在一个巨大的行星的伪装下“条件化”周围的空间来改变它的测量属性 。 想象空间是一些透明的果冻 ， 你可以在中间注入更多的果冻 。 这对周围的果冻产生了向外的压力 ， 这种影响随着距离的增加而减小 。 结果是"非均匀或各向同性 ， 迫使我们用十个函数来描述它的状态" 。
爱因斯坦没有说空间是弯曲的 ， 他说它是不均匀的 。 这种不均匀性是非线性的 ， 我们将其建模为弯曲时空 。请看这篇当代论文 。
有一个精确的数学答案早于爱因斯坦几十年 ， 在19世纪就已经给出了 。
它的要点是人们可以区分内在曲率和外在曲率 。 外在曲率只有在高维空间中才有意义 。 以一张纸为例 。 把它卷起来 ， 使它形成一个圆柱体 。 你可以这样做 ， 而不需要撕裂、拉伸或对那张纸做任何它讨厌的事情 。 这张纸上的内容没有任何扭曲 。 特别是 ， 如果你在纸上画一个三角形 ， 然后测量它的角度 ， 它们的和是180度 ， 在你把纸卷起来之前和之后 。 这张纸的曲率(显而易见)只存在于它被卷起的三维空间中而这张纸本身没有任何变化 。
再举一个例子：把一张纸换成一块橡胶 ， 你可以拉伸它来平滑地覆盖一个球的表面 。 你不能用一张纸来做这个 ， 因为它不适合被拉伸 。 当你拉伸橡胶板时 ， 你之前画在上面的东西会变形 。 例如 ， 如果你在它上面画一个三角形 ， 你会发现当你拉伸薄板使之适合球面后 ， 三角形的内角加起来超过180度 。 因此 ， 如果没有参考你拉伸的三维空间 ， 你就知道薄板不再是平的 。 曲率是内在的：它可以只用画在纸上的东西来测量 ， 比如三角形 。
广义相对论将四维空间的内在曲率与引力联系起来 。 因此 ， 我们并不需要引入高维空间 。
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