形式逻辑的数学原理(6): 证明
所谓证明 ， 是一种有目的推理 。证明即从一组真命题推导至某一给定命题 P ， 以确定P的真伪 。 例如 ， 著名的苏格拉底三段论就是从两个前提命题推导出一个结论命题：所有人都会死苏格拉底是人因此苏格拉底也会死基于上述分析 ， 本帖尝试给出逻辑证明的严格数学定义如下 。设H₁, H₂, H₃, … Hn为真值为1的命题 ， C为满足一阶语法的任意命题 ， 若<H₁,H₂,H₃,…,Hn>→C为重言式 ， 则:1）从<H₁,H₂,H₃,…,Hn>到C的推理称为一个关于C的一阶逻辑证明 ， 记为P(Hn,C)；2）<H₁,H₂,H₃,…,Hn>称为P(Hn,C)的前提；3）C称为P(Hn,C)的结论；4）当<H₁,H₂,H₃,…,Hn>→C为重言式时 ， 称P(Hn,C)有效 。根据定义 ， 有：P(Hn,C): <H₁,H₂,H₃,…,Hn>→C由此可见 ， 一阶逻辑证明是从<H₁,H₂,H₃,…,Hn>到C的一个映射(mapping) 。 前提集合的任何变化 ， 都有可能导致结论的变化 。 只有当<H₁,H₂,H₃, …,Hn>→C在所有赋值情形下都成真时 ， 其结论方为有效 。
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