江苏龙网

  1. 首页 > 资讯 > 资讯 > >

环球科学@0.999…真的等于1嘛？环球科学2020-08-25 09:31:120阅( 二 )


目前 ， 人们对无限小数的定义建立在“收敛数列”的概念之上 。 如果用以下形式表示数r：0.a1a2a3…an… ， 这就意味着r等于a1/10+a2/100+a3/1000+…+an/10n+… 。 也就是说 ， r是下面这个数列的极限：a1/10 ， a1/10+a2/100 ， a1/10+a2/100+a3/1000 ， … 。
用极限证明0.999 。。。 =1
r是一个数列的极限 ， 在这个数列中 ， 每一项都是一个有限小数 。 比如0.333…就是数列0 ， 3/10 ， 33/100 ， 333/1000 ， …的极限 。 19世纪初 ， 数学家伯纳德·博尔扎诺（Bernard Bolzano）、奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）和卡尔· 魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）提出极限的概念后 ， 这一定义成型 。 他们提出的极限概念有时也被称为极限的ε-δ定义 。
环球科学@0.999…真的等于1嘛？环球科学2020-08-25 09:31:120阅
文章图片
图3/6后来 ， 数学家提出了根据整数构建实数集的方法（用柯西数列或者戴德金分割法） ， 进一步完善了上述定义 ， 最终对实数以及无限小数的完整定义达成了一致 。
这些在19世纪打下的扎实基础以及数学家的一致意见 ， 让我们对无限小数的定义有了十足的把握 。 这个定义被称为“实数和连续性的古典定义” 。 那么根据这个定义 ， 如何解释“1=0.999…？”这个问题呢？不出所料 ， 答案是站在上文的数学老师这一边的 。
环球科学@0.999…真的等于1嘛？环球科学2020-08-25 09:31:120阅
文章图片
图4/6证明4
当n逼近无穷大时 ， u=0.999…就成为了以下数列通项公式的极限：xn=0.9+0.09+…+0.0…09（在小数点和最后一个9之间有n个零） 。 因式分解后 ， 该公式可写为：xn=0.9（1+1/10+… +1/10n） 。
我们知道0.9=1–1/10 。 我们把a=1/10代入恒等式（1–a）（1 +a+a2+a3+…+an）=1–an+1（如果你想证明的话可以把恒等式展开） ， 就可以推导出
xn=1–1/10n +1 。 当n逼近无穷大时 ， 数列10n+1也逼近无穷大 ， 而1/10n+1则会逼近0 ， xn逼近1 ， 因此我们得知1=0.999… 。
我们没有列出详细的证明步骤（按照ε-δ定义） ， 但是上面的简单证明对于那些理解了实数古典定义精髓的人来说应该不是难事 。
借助极限的概念 ， 实数的古典定义表明 ， 证明1、2和3是正确的 。 古典定义还能证明 ， 在这些证明中把计算法则应用于无穷的情况是合理的 ， 而学生采用的比较规则是不正确的 ， 因为严格不等式不适用于数列的极限 。
不过高中生不必进行如此深入的讨论 。 我们可以利用这个机会 ， 向他们列举基于极限的实数定义能够导出哪些结论 。
将某些不等式随意推广到极限的情况是不正确的 。 如 ， 假设对于任意整数n来说 ， yn<a且yn收敛 ， 但这并不意味着n→∞时yn<a ， 而是仅意味着n→∞时yn≤a 。
某些实数 ， 比如n/10k（n 和 k 是整数）有两种小数形式 ， 一种是以无穷多的0结尾的（因此我们就不写出来了） ， 另一种以无穷多的9结尾 。 比如 ， 0.15=0.14999… ， 12.8=12.7999… ， 1=0.999… 。
上述情况适用于所有进制的记数法 。 如在2进制中 ， 1.000…=（0.111…）2=1/2+（1/2）2+（1/2）3+?+（1/2）n+? ， 0.101=（0.000111…）2=（1/2）4+（1/2）5+（1/2）6+… 。
人们很难相信1=0.999…的原因在于 ， 他们常常不能理解“无限小数记数法”和“实数”之间的关系 。 在整数和有限小数的范畴内 ， 识别一个数及其小数形式是轻而易举的事 ， 因为小数的表达方式具有单一性 。 但是到了无限小数的领域 ， 想要识别一个数就不再那么容易了 ， 必须要借助实数更为抽象的概念 。 千万别把实数和它们的小数形式混淆 。 如果每个实数都有唯一的小数形式 ， 那么世界将是多么简单明了啊 。 但现实却不是这样的！
现在我们还有一个问题没有解决：在数学意义上 ， 0.999…<1成立的场景是否会出现？实际上 ， 答案是肯定的 ， 有两种方法可以使这个基于直觉的不等式严格成立 。 我们将会看到 ， 用其中任意一种方法构造的数集都无法与19世纪定义的实数系相媲美 。 为了简化讨论 ， 我们将只讨论正数 ， 以及经过一些调整后适用于负数的情形 。
定义0.999 。。。 <1的缺陷
第一种方法非常简单直接：直接将有限小数和无限小数看作不相等的数 。 这是一种非常经济的方法：不用改变任何事 ， 只需认定0.999…<1以及类似的不等式成立即可 。 我们把这种假设称为“冥顽不灵学生的实数” 。
用这种方法 ， 我们将带有小数点的数字序列（如315.212121…）看成实数 ， 并认为 ， 当且仅当两个数的数字完全相同时才相等 。 然后我们用学生提出的方法来比较这两个数的大小：将这两个数上下排列 ， 使小数点对齐 ， 然后从左到右将两个数的每一位进行比较 ， 直到找到差别 。 这种排序法叫做带小数点的无穷序列的字典序（从左到右） 。 比如 ， 7345.222222…比7345.221222…要大 。
这样一来 ， 在“冥顽不灵学生的实数”的范畴内 ， 0.999…< 1 。
古典实数对两个数的大小顺序是这样定义的：在两个不同的数之间 ， 总是存在无穷多的其他实数 。 对于“冥顽不灵学生的实数”来说 ， 这一点在多数情况下也成立 ， 除了0.999…和1这种情况 。 在“冥顽不灵学生的实数”的体系中 ， 2.19999…和2.20000…虽然不相等 ， 但它们之间不存在任何实数 。 也就是说 ， 这些数之间存在着一个“空洞” 。


推荐阅读


上一篇：「新浪科技」宇宙的“骨架”：全天X射线星图揭示暗物质奥秘新浪科技2020-08-25 09:30:280阅

下一篇：大兴安岭|鄂温克族小伙大兴安岭饲养驯鹿成网红