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环球科学@0.999…真的等于1嘛？环球科学2020-08-25 09:31:120阅

来源：环球科学
作者：让-保罗·德拉艾
环球科学@0.999…真的等于1嘛？环球科学2020-08-25 09:31:120阅
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图1/6数学中的记数法能够帮助我们理解并证明数学思想 。 实用的数学符号以及特定运算法则的引入帮助数学家取得了众多进展 。 公元5至7世纪 ， 印度数学家发明了十进制系统 。 得益于该系统 ， 我们能够描述极大和极小的数字 ， 并对其进行运算 。
如果没有这项非比寻常的发明 ， 科学可能就无法生根发芽 ， 更不用说贸易和现代工业的发展了 。 但是 ， 一些记数法有时会让人困惑不解 。 这就是我们在这里要讨论的问题 。 至少第一眼看上去 ， 这个问题简直让人摸不着头脑 。 这个问题就是：“0.999…=1正确吗？”或者反过来说 ， “0.999…<1正确吗？”
0.999…这个表达式使用的是实数的小数记数法 。 这个表达式里的省略号意味着 ， 最后一个9后面会跟着无穷多的9 。 只有在小数点后边的数字确定的情况下（如192.252525…） ， 这种表达式才有意义 。 在这篇文章中 ， 我们会探讨这个记数法现在被赋予的真正含义 。 但首先 ， 看看数学老师如何运用一些基础计算法则 ， 向学生证明0.999…=1 。
证明1
所有人都知道1/3=0.333… 。 如果我们用1除以3 ， 首先我们发现个位数是0 ， 接着出现了0.3、0.33、0.333 。 于是我们很确信 ， 接下来的数是无穷的 ， 因此1/3=0.333… 。
接着 ， 我们在等号的两边分别乘以3 ， 那么就得到了3×1/3=3×0.333… ， 即1=0.999… 。
【环球科学@0.999…真的等于1嘛？环球科学2020-08-25 09:31:120阅】同理 ， 我们通过计算得到1/9=0.111… 。 我们在等号两边同时乘以9 ， 就可以得到1=0.999… 。
其他证明方法
证明2
令u=0.999… 。 在等号的两边分别乘以10 。 我们注意到一个数乘以10后 ， 相当于将小数点向右移动一位：10u=9.999… 。
我们现在把新的等式两边同时减去u=0.999…：10u–u=9（因为9.999…–0.999…=9） 。 我们得到9u=9 ， 因此u=1 。 我们又一次证明了1= 0.999… 。
证明3
假设0.999…<1 。 那么0.999…和1的平均值m就应当大于0.9而小于1 ， 因为两个数的平均值总是位于这两个数之间 。 那么m的小数形式应该是以0.9开头的 。 又因为m大于0.99而小于1 ， 则m的小数形式应该是以0.99开头的 。
通过这样一步步推演 ， 我们证明m的小数形式必然是0.999… 。 因此 ， m等于两个数中较小的那个 。 这是不合逻辑的 ， 因为两个不相等的数的平均值不可能等于其中任何一个 。 因此 ， 最初的假设0.999…<1是错的 。 同理可证 ， 0.999…>1也是不可能的 ， 因此只可能是1=0.999… 。
我们也可以通过另一种方式完成这个推导 。 令u=0.999… ， 那么我们就得到了m=（u +1）/2=u ， 因此u+1=2u ， 所以u=1 。
但是 ， 数学老师很清楚 ， 即使演示了这些证明之后 ， 如果让学生畅所欲言 ， 他们依然会对等号的合理性心存怀疑 。 来自世界不同地区的多项研究发现 ， 即使看过了多种正确的证明过程 ， 仍有人不相信这个等式是正确的 。
图像证明法
有一种证明0.999?=1的方法采用了图像的手段 。 我们以二进制为例 。 在二进制中 ， 上述问题可被转化为：二进制中的0.111?是否等于1？
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图2/6小数（0.111?）2实际上等于1/2+（1/2）2+（1/2）3+?+（1/2）n+? 。 在这张图中 ， 我们可以很清晰地看到边长为1的正方形被不断地对半切割开来 ， 而它的面积为1 。
但是依然有人质疑这种方法 ， 因为这种方法看起来并不完美 。 实际上大正方形的右上角是永远无法被填满的 。
有数十篇数学教育领域的论文讨论了这种现象 。 在我看来 ， 这种现象有一个简单的解释：这是由于一些孩子从6~8岁起 ， 就用下面的方法比较整数和有限小数 ， 而且这个方法的效果往往不错 。
比较规则
当我们比较两个正数时 ， 我们把两个数上下排列、小数点对齐 ， 然后我们从左到右将上下两个数逐位进行比较 ， 找到第一个不同的数字 。 如果存在这样的数字 ， 那么我们就知道这两个正数是不相等的 ， 且数字更小的那个正数本身也更小 。
比如 ， 如果我们对0.28145和0.2813989进行比较 ， 那么我们可以这样把它们排列在一起：
0.28145
0.2813989
运用上述规则 ， 我们发现这两个数字中第一个不同的数字位于小数点后第4位 ， 而由于4大于3 ， 因此我们知道上面的数大于下面的数 。 如果我们用同样的规则对1（写作1.000…）和0.999…进行比较：
1.000…
0.999…
我们很快就发现1大于0.999… ， 因为比较时第一个数字就不同：1大于0 。
根据这种比较规则 ， 毫无疑问0.999…<1 。 而数学老师对这样想的学生的回应往往是这样的：“这种比较方法适用于有限小数 ， 但有限小数的比较法则不适用于无限小数 。 ”简单地说 ， 并不是所有运算法则都适用于无穷的情况 。
数学老师的权威可以叫停这场争论 。 但是执着的学生依然可以这样据理反驳：“为什么在证明1、2、3中 ， 有限小数的运算法则可以延伸到无限小数 ， 但是比较规则却不可以延伸到无限小数？”这么一问 ， 我们又回到了原点 。 在这场争论中 ， 到底是谁比较有道理？是能用3种方法证明0.999…=1的老师 ， 还是那些坚持比较规则 ， 一心和老师作对的学生？为了解决这个问题 ， 我们需要回到无限小数的定义上去 。


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