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蔡天新专栏数学及史学家( 三 )


莱布尼茨在数学上的最大贡献无疑是在无穷小的计算方面 ， 即微积分学的发明 。 这是科学史上划时代的贡献 ， 正是由于这一发明 ， 使得数学开始在自然科学和社会生活中扮演极其重要的角色 ， 同时也给后来喜欢数学的人提供了成千上万的工作岗位 ， 就如同20世纪电子计算机的出现一样 。 不幸的是 ， 莱布尼茨不得不与英吉利海峡对岸的牛顿分享这一荣誉 。 事实上 ， 他们两人是独立完成发明的（牛顿或许更早发明 ， 但莱布尼茨发表在先） ， 并且所用的方法也不同 。 牛顿使用的“流数法”有着运动学的背景 ， 其推导更多是属于几何学的 ， 而莱布尼茨则受到帕斯卡尔的特征三角形的启发 ， 他的论证更多地用到了代数学的技巧 。
正是由于代数学方法的使用 ， 加上莱布尼茨本人对数学形式有着超人的直觉（这种直觉对他的哲学研究也大有裨益 ， 而牛顿的后半生的主要成就是在《圣经》和神学的编年史方面） ， 使得我们今天熟知的微积分学教程基本上采用了他的表述方式和符号体系 。 除此以外 ， 莱布尼茨还创立了形式优美的行列式理论 ， 并把有着对称之美的二项式理论推广到任意个变数上 。 当然 ， 最让我们感到愉悦的可能要数他从巴黎来到伦敦旅行期间所发现的圆周率的无穷级数表达式 ， 即
蔡天新专栏数学及史学家。有了这类公式 ， 自古以来对圆周率的精确计算的人为竞争便永远结束了 。
3.
逻辑学和形而上学
在巴黎逗留时期 ， 莱布尼茨除了潜心数学王国之外 ， 不忘学习和研究新哲学 ， 他设法接触到两位法国前辈帕斯卡尔和笛卡尔未曾发表的著作 ， 并亲自动手把它们抄下来 。 据说 ， 笛卡尔的《指导我们心智的规则》在作者身后半个世纪才得以在阿姆斯特丹出版 ， 依据的正是莱布尼茨当年的手抄本 。 可是莱布尼茨并非笛卡尔的追随者 ， 相反 ， 他是反笛卡尔主义的 ， 尤其在物理学方面 。 更有甚者 ， 虽然他成名于巴黎 ， 但出于对本民族的热爱（在他的一生里法兰西一直构成对德意志的威胁） ， 他始终是反法的 。 除了试图向路易十四献上远征埃及的诡计以外 ， 他还曾提出由西印度群岛（比如古巴）的糖做成的廉价朗姆酒去切断法国白兰地的销售 ， 以此削弱法国的经济实力 。
另一方面 ， 虽然由于“优先权之争”莱布尼茨与英国学术界闹得很不愉快 ， 但他始终对英国人怀有好感 。 莱布尼茨十分赞赏一度旅居巴黎的英国哲学家霍布斯的论断——所有推理都是计算 ， 这或许是他发明计算机的一个动力 。 同样 ， 这一论断也推动了他在逻辑学方面的大部分工作 。 逻辑学是研究人类思想的符号系统的 ， 它融会了数学家和哲学家的智慧 。 亚里士多德创立了三段论和换位理论等古代逻辑学基本原理 ， 但那是直接的而非推理的形式 。 莱布尼茨则重视建立在思想字母表上的普遍语言 ， 一般的推理演算和一般方法论 ， 同时成功地用数学方法解释了亚里士多德的三段论 。
莱布尼茨意识到命题的内涵和外延之间的不同 ， 并认同内涵的独立性 ， 这意味着 ， 即使没有独角兽 ， “所有独角兽都有角”这类命题仍是正确的 。 更重要的是 ， 莱布尼茨建立了纯形式的逻辑演绎系统 ， 在一篇名为《真实加法的计算法研究》的论文中 ， 他给出了24个命题 ， 包括今天我们熟知的一些逻辑学结果 。 例如 ， A在B中 ， B在C中 ， 则A在C中；A=B且B≠C ， 那么A≠C；A⊕B ≠ A+B ， 等等 。 除此以外 ， 他还指出代数的某些内容有着非算术的解释 。 这一逻辑数学化的设想在两个世纪以后由英国逻辑学家布尔实现了 ， 他建立起了逻辑代数 ， 即今天所说的布尔代数 ， 从而又和莱布尼茨发明的二进位制发生了联系 。 而在20世纪 ， 也有一位英国逻辑学家图灵被誉为“电子计算机之父” 。
在逻辑学之后 ， 莱布尼茨致力的研究目标是形而上学 ， 康德称其为是所有科学和哲学的女王 。 下面两种说法是被普遍认可的 ， 形而上学是对存在物的探求 ， 形而上学是对世界整体的研究 。 从词源学上讲 ， 形而上学（metaphysics）意即“物理学之后” ， 这是亚里士多德的一位弟子在编辑老师遗留下来的著作时命名的 。 值得一提的是 ， 这个字的形容词置于绘画和诗人两字前面时分别译成“形而上”和“玄学派” 。 在莱布尼茨40岁的时候 ， 他的哲学思想突然变得清晰起来 ， 不仅区分了必然真理和偶然真理 ， 还给出了真理的充分理由原则和实体的同一性原则 。 他的形而上学思想体系除了逻辑学以外 ， 还包括语言学、物理学、生物学和生理学诸方面的观点 ， 以及它们之间的相互联系 。


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