韩剧集合处|如何学好线性代数？( 二 )
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英国数学家哈代(GH Hardy)说[5]：「数学家的模式 ， 如画家或诗人的模式一定是锦绣的；数学家的设法 ， 如色彩或文字必需以和谐的方式结合在一起 。 美是首要的试金石：丑陋的数学不可能永存 。 」线性代数是一个柔美凝练的数学分支 。 线性代数像是巴赫(JS Bach)的〈无伴奏大提琴组曲〉 ， 巴赫在这里构建了一种循序渐进和连贯同一的风格 ， 每首组曲在结构上都按照严格的曲式谱成 。 而在音乐发展的过程中 ， 每个乐章之间的内在联系更是交响曲的先声[6] 。 线性代数的结构是向量空间 ， 曲式是线性变换 。 线性代数的乐章有矩阵代数、正交、行列式、特征值与特征向量 ， 以及二次型等 。 研习线性代数与吹奏〈无伴奏大提琴组曲〉同样都需要有效的学习方法 。
回到标题 ， 如何学好线性代数？哈尔莫斯从不知道线性代数到底在讲什么 ， 短短几年变身为一代宗师 ， 他是怎么办到的？哈尔莫斯公然了他的数学学习秘笈[7]：
「别只是读；跟它对抗！问你自己的题目 ， 找你自己的例子 ， 发现你自己的证实 。 这个假设是必要的吗？反向命题成立吗？经典的特例有哪些情况？退化时会怎么样？证实在何处使用了假设？」
在〈无伴奏大提琴组曲〉中 ， 有些乐章(如 Sarabande)的音乐性格和内容与其他乐章显著不同 。 在线性代数中 ， 两个数学物件常具有某种相异的性质却又有一些相同的性质 。 譬如 ， 在一般情况下 ， 两个同阶方阵 A 和 B 不满意乘法交换律 ， AB≠BA ， 但是 det(AB)=det(BA) 。 读了课本的证实 ， 你可能依然困惑 。
哈尔莫斯鼓励我们提出「蠢题目」 。 譬如 ， det(AB) 和 det(BA) 的几何意义是什么？ AB 与 BA 是否拥有其他的基本不变量使得行列式不改变？继承推广 ， 三个同阶方阵 A, B, C 的乘积 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 除了行列式不变 ， 是否还有其他相同的性质？一般来说 ， 无论老师或课本都不会主动地回答我们的「蠢题目」 。 教师常以「世界上没有愚蠢的题目 ， 只有愚蠢的谜底」呼吁学生发问 ， 但绝少学生愿意公然提出他们心中的「蠢题目」 。 吊诡的是 ， 回答「蠢题目」偏偏是研习线性代数的一个极为有效的途径 。 底下列举一些困扰我们却又羞于启齿的「蠢题目」供读者思索 ， 但我未将「蠢谜底」贴上免得破坏世人的学习乐趣 。 命运运限好的话 ， 你在这个网站上乱逛说不准可以找到「蠢谜底」 ， 当然「蠢谜底」不会是大家都认同的标准答案 。
"蠢题目"
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