『』雪花周长比地球直径大？维度还是分数？

文章图片

文章图片

文章图片

文章图片

文章图片

谁不熟悉分形几何，谁就不能被认为有知识。
——黑洞概念的创始人约翰.惠勒

地球的大小跟一片雪花比起来，按理说它12742公里的平均直径完全能碾压掉雪花的一切尺寸，可事实却偏偏是，一片直径不会超过10毫米的雪花，它的周长比地球直径还要长！要搞清楚这个匪夷所思的事实，先从海岸线的测量说起。

海岸线有多长?
1976年曼德布劳特的一篇论文《英国的海岸线有多长》，使数学家们开始关注上了自然界中那些极端不规则的几何形态。

数学家发现，一段海岸线长度的测量结果，严格依赖于测量工具的精度。拿一个百米长的卷尺与拿一个纳米尺寸的量尺去测量由无数曲线组成的蜿蜒曲折的海岸线，得到的结果会天差地远，因为卷尺会不可避免地忽略掉小于它测量下限的曲线形距离，而代之以直线距离。因此，测量工具的精度越高，测量结果就会越大，当测量无限准确时，英国的海岸线就会变为无限长！
自相似的分形几何
数学家意识到，像海岸线这类无限复杂的不规则曲线，其长度的无限大，必定源自于自身结构的一种自相似性。在不同尺度级别上去观察同一段海岸线，它们的形状看起来是非常相似的，从航天飞机上看一个海峡海岸线的全貌与划着小船在近距离观察几米范围内的海岸线，形状是相似的。像海岸线这类具有自相似性的不规则图形，就称为分形几何。
自然界中自相似的图形还有哪些？
自相似图形在自然界中是大量存在的，例如雪花、树叶、山峰、浮云、宇宙中天体的分布等，都属于具有一定自相似性的几何形态。另外，自然界中的一些动力学过程，尽管不具有具体的形状，但它们的物理效应也具有自相似性。
科赫雪花

在曼德布劳特发表海岸线论文之前很早，数学家科赫就提出了一个后来称为科赫雪花的分形图案。对一个等边三角形，将每一条边等分为三段，再将每一个中间段替换为与它长度相等的等边三角形向外凸出的两条边，最后对每一条边重复无数次这样的操作，形成的雪花状图形，就称为科赫雪花。
由于每一次操作都使图形的边长增加了4/3倍，因此无数次操作进行下去的结果是，科赫雪花的边长会变为无限大，但它的面积却是有限的。这也正是一片雪花的周长大于地球直径的原因。
分数维

数学家发现，不规则的分形最重要的特征，不是它的边长、边数、两边之间的夹角这些欧几里得几何中常用的概念，而是一个称为豪斯多夫维度的量。
豪斯多夫维度与物理上对空间维度的定义不同，在三维空间中，将一个正立方体的每一条边等分为二，那么会出现8个相似的正立方体，数量关系为2^3=8 。同样，对二维平面上的正方形进行这样的操作，可以得到关系式2^2=4 。对一维线段进行操作，得到2^1=2 。